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《线性代数》(陈维新)习题答案(第5章)

第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化 习题5.1

=

=

=

=

1.解:(A) 设A

1 ===0 10 , 因为秩(A)=秩(B)所以A与B等价; 但是由

02 ,B 2 04

于trA与trB不相等, 所以A与B不相似. 因此(A)不正确.

(B) A与B相似, 即存在可逆矩阵P使得PAP=B, 所以秩(A)=秩(B),因此A

与B等价. (B)是正确的.

1

==

0

,秩(A)=秩(B), 但是由于trA与tr 4

1

10

(C) 与(A)一样, 设A ,B 2 = = 02

0

B不相等, 所以A与B不相似. 因此(C)不正确.

10

(D) 与(A)一样, 设A ,B

02 ==

1

2 0 0

,|A|=|B|, 但是由于trA与tr 4

B 不相等, 所以A与B不相似. 因此(D)不正确.

3.设A=ξη,其中ξ

T

[x1,x2, ,xn]≠O,η

T

[y1,

y2, ,

yn]≠O.

T

求证:ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值. 证 因为A=ξη, 所以Aξ

T

ξηTξξ(ηTξ), 而ηTξ

x1y1+x2y2+ +xnyn, 所以

Aξξ(ηTξ)(ηTξ)ξ

(x1y1+x2y2+ +xnyn)ξ, 根据特征向量的定义可得ξ是A的特

x1y1+x2y2+ +xnyn.

征向量并且对应的特征值为ηTξ

4.设λ0是n阶方阵A的一个特征值.记A的属于λ0的特征向量的全体及零向量为  Wλ0=ξ∈PnAξ=λ0ξ. 证明:

(1) 若ξ1,ξ2∈Wλ0,则ξ1+ξ2∈Wλ0;

{}

第1页

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