当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 《线性代数》(陈维新)习题答案(第5章)第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化 习题5.1
=
=
=
=
1．解：(A) 设A
1 ===0 10 , 因为秩(A)=秩(B)所以A与B等价; 但是由
02 ,B 2 04
于trA与trB不相等, 所以A与B不相似. 因此(A)不正确.
(B) A与B相似, 即存在可逆矩阵P使得PAP=B, 所以秩(A)=秩(B),因此A
与B等价. (B)是正确的.
1
==
0
,秩(A)=秩(B), 但是由于trA与tr 4
1
10
(C) 与(A)一样, 设A ,B 2 = = 02
0
B不相等, 所以A与B不相似. 因此(C)不正确.
10
(D) 与(A)一样, 设A ,B
02 ==
1
2 0 0
,｜A｜=｜B｜, 但是由于trA与tr 4
B 不相等, 所以A与B不相似. 因此(D)不正确.
3．设A=ξη，其中ξ
T
[x1,x2, ,xn]≠O，η
T
[y1,
y2, ,
yn]≠O．
T
求证：ξ是A的特征向量，并指出其对应的特征值． 证 因为A=ξη, 所以Aξ
T
ξηTξξ(ηTξ), 而ηTξ
x1y1+x2y2+ +xnyn, 所以
Aξξ(ηTξ)(ηTξ)ξ
(x1y1+x2y2+ +xnyn)ξ, 根据特征向量的定义可得ξ是A的特
x1y1+x2y2+ +xnyn.
征向量并且对应的特征值为ηTξ
4．设λ0是n阶方阵A的一个特征值．记A的属于λ0的特征向量的全体及零向量为 Wλ0=ξ∈PnAξ=λ0ξ. 证明：
(1) 若ξ1,ξ2∈Wλ0，则ξ1+ξ2∈Wλ0;
{}
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