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数理方程复习题(试卷)

《数学物理方程》复习

1用分离变量法求解定解问题

(1)22

2222,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)2,(,0)0.x t u u a x l t t x u t u l t t u x x lx u x ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=-=⎪⎪⎩

(2)⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=-=>==><<∂∂=∂∂===.23sin 3)0,(,,2|,

0,0||,0,0,92

02222l x x u lx x u t u u t l x x u t u t t l x x x π

2求解定解问题

(1)2222222212,01,|0.x y u u x x y x y u +=⎧∂∂+=-≤+<⎪∂∂⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ (2)2

2

2

2

2

2

2222

22222212(),,

(,)|0,(,)|0.x y a x y b u u x y a x y b x y u x y u x y n +=+=⎧∂∂+=-<+<⎪∂∂⎪⎪=⎨

⎪∂⎪=⎪∂⎩

3(1)用积分变换法求定解问题

(1)⎪⎪⎩

⎧==>>=∂∂∂.cos ),1(,)0,(,0,1,222y y u x x u y x y x y x u

(2)⎪⎩

⎨⎧===><<=-=.,sin 4|,0),1(,0),0(,0,10,002x u t u t u t x u a u t xx t π

4用特征线法求定解问题⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+∞<<∞-=+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂+∂∂∂-∂∂==x u x x u t x x

u

x t u t u t t t ,0|,,|,0,,0340022222 另外,请指出它在[-1,2]上的决定区域和影响区域。

5 ⎪⎩

⎨⎧Ω∈=>Ω∂∈=>Ω∈=∆-=Ω∂.),(|,0,),,(|),(,0,),,(02x x u t x t x t x u t x t x f u a u t t ϕψ

(1)给出问题解的表达式;(2)证明问题解的唯一性。

6 (1) 判定方程0128=+-yy xy xx u u u 的类型,并把它化成标准型。 (2) 判定方程0253=+-yy xy xx u u u 的类型,并把它化成标准型。 7

(1)写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。

(2)设2()J x 为2阶贝塞尔函数,则

2

2()d x J kx dx ⎡⎤⎣

⎦=__________________

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