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高中数学竞赛 必备

高中数学的必备考点!第二讲 映射及映射法 知识、方法、技能 1.映射的定义 设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作 (1)映射是特殊的对应,映射中的集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合,这两个集合有先后次序,从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的. (2)原象和象是不能互换的,互换后就不是原来的映

第二讲 映射及映射法

知识、方法、技能

1.映射的定义

设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f:A B. (1)映射是特殊的对应,映射中的集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合,这两个集合有先后次序,从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.

(2)原象和象是不能互换的,互换后就不是原来的映射了.

(3)映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的对应法则f,三者缺一不可.

(4)对于一个从集合A到集合B的映射来说,A中的每一个元素必有惟一的,但B中的每一个元素都不一定都有原象.如有,也不一定只有一个.

2.一一映射

一般地,设A、B是两个集合,f:A B.是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么个这个映射叫做A到B上的一一映射.

3.逆映射

如果f是A与B之间的一一对应,那么可得B到A的一个映射g:任给b B,规定

g(b) a,其中a是b在f下的原象,称这个映射g是f的逆映射,并将g记为f—1.

显然有(f1)1= f,即

——

如果f是A与B之间的一一对应,则f1是B与A之间的一一对应,并且f1的逆映射

是f.

事实上,f1是B到A的映射,对于B中的不同元素b1和b2,由于它们在f下的原象不

——

同,所以b1和b2在f1下的像不同,所以f1是1-1的.

任给a A,设f(a) b,则ff

—1

1

(b) a.这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此,

是映射上的.

———

这样即得f1是B到A上的1-1映射,即f1是B与A之间一一对应.从而f1有逆映

—1

射h:A B.由于任给a A,设h(a) b,其中b是a在ff(a)=b,从而h(a) b f(a),得h f,这即是f

—1

下的原象,即f1(b)=a,所以,

的逆映射是f.

赛题精讲

Ⅰ映射

关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一,请看下述试题.

例1:设集合M {x|0 x 11,x Z},集合F {(a,b,c,d)|a,b,c,d M},映射f:F→Z.使

得(a,b,c,d) ab cd.已知(u,v,x,y) 39,(u,y,x,v) 66,求x,y,u,v的值. 【思路分析】应从(a,b,c,d) ab cd入手,列方程组来解之. 【略解】由f的定义和已知数据,得

f

fff

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