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第二讲 根的判别式应用

数学培优竞赛新方法(7-9年级)\九年级竞赛辅导(上传完成)

第二讲 根的判别式应用

为了检查产品质量是否合格,工厂里通常使用各种检验仪器,为了辨别钞票的真伪,银行里常常使用验钞机,类似地,在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等.我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广泛的应用:

利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;

运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;

通过判别式,证明与方程相关的代数问题;

借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题.

【例题求解】

【例1】 已知关于x的一元二次方程(1 2k)x2 2 1x 1 0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 . (2001年广西中考题) 思路点拨 利用判别式建立关于k的不等式组,注意1 2k、k 1的隐含制约.

注:运用判别式解题,需要注意的是:

(1)解含参数的二次方程,必须注意二次项系数不为0的隐含制约;

(2)在解涉及多个二次方程的问题时,需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下,综合运用方程、不等式的知识.

【例2】 已知三个关于y的方程:y2 y a 0,(a 1)y2 2y 1 0和(a 2)y2 2y 1 0,若其中至少有两个方程有实根,则实数a的取值范围是( )

A.a 2 B.a 11或1 x 2 C.a 1 D. a 1 44

(山东省竞赛题)

思路点拨 “至少有两个方程有实根”有多种情形,从分类讨论人手,解关于a的不等式组,综合判断选择.

【例3】 已知关于x的方程x2 (k 2)x 2k 0,

(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;

(2)若等腰三角形△ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长. (2001年湖北省荆门市中考题)

思路点拨 对于(1)只需证明△≥0;对于(2)由于未指明底与腰,须分b c或b、c中有一个与c相等两种情况讨论,运用判别式、根的定义求出b、c的值.

注:(1)涉及等腰三角形的考题,需要分类求解,这是命题设计的一个热点,但不一定每个这类题均有多解,还须结合三角形三边关系定理予以取舍.

(2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉,而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考,竞赛依托判别式的创新题型,解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.

【例4】 设方程x2 ax 4,只有3个不相等的实数根,求a的值和相应的3个

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