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高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!

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高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

551. 已知:正三棱柱ABC—A′B′C′中,AB′⊥BC′,BC=2,求:线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长.

解析:如图,取BC的中点D.∵AD⊥BC,侧面BCC'B'⊥底面ABC,∴AD⊥侧面

BCC'B'B'D是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′,∴B'D⊥BC′.

设BB′=x,在RtΔB'BD中,BE∶BD=BB',B'D= x. ∵E是ΔBB′C的重心.∴BE=∴x=

13

13

2

BC′=

13

4 x

2

2

x 4,解得:x=2.∴线段AB′在侧面的射影长为2.

2

552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′,它们的面积分别是S、S′,若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0<θ<90°=,则S′=S·cosθ. 证法一 如图(1),当BC在平面α内,过A′作A′D⊥BC,垂足为

高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

D.

∵AA′⊥平面α,AD在平面α内的射影A′D垂直BC. ∴AD⊥BC.∴∠ADA′=θ.又S′=θ.

证法二 如图(2),当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内,可运用(1)的结论证明S′=S·cosθ.

553. 求证:端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.

证明 如图,设异面直线a、b的公垂线段是PQ,PQ的中点是M,过M作平面α,使PQ⊥平面α,且和AB交于R,连结AQ,交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α,MN α,∴PQ⊥MN.在平面APQ内,PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α,又∵PM=MQ,∴AN=NQ,同理可证NR∥b,RA=RB.

即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.

554. 如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点,求证:AB1⊥A1M.

解析:不难看出B1C1⊥平面AA1C1C,AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1,只要能证A1M⊥AC1就可以了.

证:连AC1,在直角ΔABC中,BC=1,∠BAC=30°,∴ AC=A1C1=3.

AA1A1C1

12

A′D·BC,S=

12

AD·BC,cosθ=

A DAD

,∴S′=S·cos

设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β∴ tanα==

63

=2

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