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微积分竞赛试题答案

湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案

(数学专业)

一、 计算题(每小题15分,满分60分)

x

1. 计算:lim

x 0

2

2

1

x

2

x

2

(cosx e)sinx

2

解: x

2

1

x

2

2

2

x

4

818

0(x),

4

x

2

2

1

x

4

x

2

x 0(x)。

2

2

2

44

又 cosx e [1

12

x 0(x)] [1 x 0(x)]

32

x 0(x),

22

x

故 lim

x 0

2

1

x

2

x

2

(cosx e1

4

)sinx

4

2

x 0(x)2241xx188x lim 2 lim 222x 0x 03212xsinx30(x)sinx2

x 0(x) 2

22x

nn

10(x)

4

2.设lim

n

(n 1)

2006,试求 , 的值。

解:

n

n (n 1)

=

n

1 (1

1n

)

n

1 (1

0())

nn

1

n

1

n 0()

n

1

, 1

n 1

, 显然由条件知 0,而lim

n 1

n 0()

n 0,

因此有 1 0,且

1 0, 1 0, 1 0,

,

12006

1

2006,故

20052006

3. 求积分

xsinx1 cos

2

x

dx

解:

xsinx1 cos

2

x

dx= 2

xsinx1 cos

2

x

dx+

xsinx1 cos

2

2

x

dx

第1页

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