GM(1,1)模型

0 引言

房地产行业是国民经济的支柱产业之一,与人民生活息息相关,它的发展对国民经济的整体态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展迅速,既为整个国民经济的发展做出了贡献,又为改善人民居住条件发挥了决定性作用.但同时也面临较为严峻的问题和挑战,引起诸多争议,各方都坚持自己的观点,然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.显然从定量角度把握各指标之间的数量关系,能较为准确的预见房地产行业的发展态势,从而进行有效地调控,进而实现可持续发展.因此通过建立数学模型定量地研究我国房地产问题是一个值得探索的方向.

以下主要从未来商品房价格和房地产行业泡沫两个方面分别建立基于GM(1,1)模型和Cobweb模型的房地产行业模型,并参考国家统计局数据,利用MATLAB软件定量分析未来我国房地产市场的发展态势,希望对我国房地产行业的健康发展起到一定的指导作用.

1 房价预测模型

1.1 模型的建立与求解

灰色模型 1 (Gray Model，又称灰色理论)有严格的理论基础,其最大的优点是实用.预测结果比较稳定,既适用于大量数据的预测,数据量较少时预测结果也很准确.用文献[2]中提供的数据(即"商品房本年销售价格"1991-2009年的数据)建立灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型——GM(1,1)模型。

这里,记原始数据列为:X0 x0 1 ,x0 2 ,,x0 19 786,995,,4681 .

(Ⅰ) 原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新数据序列:

X x 1 ,x 2 ,111,x 19 ,x k x0 i ,i 1,2,11

i 1k,19.

dx1

ax1 u, 其中a,u为待定系数,分别称为(Ⅱ) 对x k 建立一阶线性微分方程:dt

发展系数和灰色作用量, a的有效区间为(-2,2),并记a,u构成的列向量为L a,u ,只要1

能求出参数a,u就能求出x1 k ,进而求出X0的未来预测值.

(Ⅲ) 记Z1为X1的紧邻均值生成序列，Z1 z1 1 ,z1 2 ,,z1 19 , 其中

z1 k 0.5x1 k 0.5x1 k 1 ,k=1,2,…,19.从而生成矩阵

0.5x1 1 0.5x1 2 1 x0 2 996 11 0.5x 2 0.5x 3 1 B Y 与 .

x0 19 4681 0.5x1 18 0.5x1 19 1

(Ⅳ) 用最小二乘法求灰参数L,则L B B B Y a,u 0.0768,1056.9448 ,将 1

dx1

a,u代入 ax1 u求解得 dt

1u u x k 1 x0 1 e ak 14554.3251 e0.0768k 13768.3251 . a a

由于a,u是由最小二乘法求得的近似值,所以上式是一个近似表达式,区别于原序列

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