第三节函数的基本性质

第三节函数的基本性质

1、判断函数的单调性

【例1】试讨论函数f x loga

练习：判断函数f(x)

x 1

中的单调性（其中a 0且a 1）。 x 1

ax

(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性。 2

x 1

点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商）；③变形；④判断符号；⑤定论。变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判定非常明显。（2）判断函数单调性的常用方法：①定义法。②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）数当f(x)恒为正或

1

f(x)与y f(x)的单调性相反。③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区恒为负时，

间上有相反的单调性。④如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。⑤如果y f(u)

y

和u g(x)单调性相同，那么y f[g(x)]是增函数；如果y f(u)和u g(x)单调性相反，那么y f[g(x)]是减函数。⑥如果f(x)在区间D上可导且f (x)在区间D上恒大于（小于）零，则y f(x)在区间D上单调递增（减）。

2、求函数的单调区间

【例2】求下列函数的单调区间：

2

（1）f(x) x 3x 2; （2）f(x) 3|x|;

（3）f(x) x 2|x| 3; （4）

2

f(x) x

9

(x 0).x

分析：求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法（利用单调性的定义探讨）。

点评：①函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．②可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判断．③函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．

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