用空间向量解立体几何题_汪昌政

2005年 第44卷 第12期数学通报23

用空间向量解立体几何题

汪昌政

(湖北省荆门市实验高中 448000)

用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力,在解决角度、距离问题时技巧性较强,一旦思路受阻就只能放弃.新课程增加的空间向量利用代数的方法,为解决这些问题提供了通用方法.其显著优点是减弱了推理论证的成份,用计算来代替论证,其缺点是计算量加大.如果在解决问题的过程中推理论证与向量运算综合运用,则不失为一种好办法!1 方式的选择

用向量解题有两种方式可供选择,一种是真接用向量代数式运算,一种是向量的坐标运算.一般来说,用向量的坐标运算,思维量更少,运算技巧性更低,更容易掌握,因而我们应尽可能采用坐标运算方式.坐标运算方式的弱点是要十分精确的写出各个点的坐标,准确无误地写出相关向量的坐标,坐标一错则全盘皆错.另外,有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系,此时不妨考虑用代数式运算,只是运算技巧相对要强一些.2 代数式运算方式

用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底,一般选其起点的三个不共面的向量构成基底,这样图形中任何其他向量总可以用这一组基向量来表示,把相关向量表示出来后,就可用向量内积运算来讨论向量所成的角,特别是通过内积为零来证明线线垂直,用向量共线来说明线线平行等等.

例1 证明:若四面体的两对对棱垂直,则第三对对棱也垂直.

已知:四面体A-BCD中ABLCD,BCLAD.求证:ACLBD

证明 选取从A点出发的三条棱的方向向量构成一组基底,

ab,=c,=-

a,=c-b,BD=c-a

依题意有#=a#(c-b)=00

由º-¹得b#c-a#b=0,#=b#(c-a)=b#c-a#b=0

所以LBD即有ACLBD命题得证.例2 已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,将此三角形沿DE折成二面角A1-DE-B,

(1)求:平面A1GFL平面BCED;

(2)当二面角A1-DE-B为多大时,异面直线A1E与BD互相垂直?

解 (1)因为DE为中线,所以A1D=A1E.

图2图1

¹º

AD#BC=c#(b-a)=

又G为DE中点,所以A1GLDE,而DELFG,所以DEL平面A1GF,又平面BCED经过DE,所以平面A1GFL平面BCED.

(2)选取以G作为始点的三个向量1构成一组基底,

则=GF+FB=+-2GE=-EA1=EG+GA1

#EA1=(-(+GA1=#EG+GF#GA1-#-#1

=#1+=|||1H+|2

¹º

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