可积函数的Parseval等式

闭区间[,]ππ-上一般可积函数的Parseval 等式

一、[,]ππ-上可积函数的三角多项式最小方差逼近

设()f x 为[,]ππ-上的可积函数，0a ，k a ，k b 为()f x 的傅里叶系数，记

()01

()cos sin 2n

n k k k A T x A kx B kx ==++∑，

（称为以2π为周期的三角多项式函数），则均方差

()

2

()()d n f x T x x π

π-- ，当

00A a =，k k A a =，k k B b =（1,2,,k n = ）

， 时，达到最小，最小值为

()22

2

201()d 2n

k k k a f x x a b π

π

π-

= -++ ∑ 。

提示：经简单地计算可得，

()

2

2

2()()d ()d 2()()d ()d n

n n f x T x x f x x f x T x x T x x π

π

π

π

ππ

π

π

-

----=- +

，

()0011()()d 2n n k k k k k f x T x x a A a A b B π

π

π-

= =++ ∑ ，()22

2201()d 2n n k k k A T x x A B ππ

π-= =++

∑ 。

于是，

()

()()()()()2

2222

220001122222

2200011()()d ()d 2()()d ()d 1()d 222()()d 22n n n n

n k k k k k k k k n

n k k k k k k k k f x T x x

f x x f x T x x T x x

A f x x a A a A b

B A B a a A f x x a b a A b B π

πππππ

π

π

ππ

ππ

ππππ-----==-==-=- +

=-+++++

- =-++++-+-

∑∑ ∑∑

.

二、按下面的步骤探索[,]ππ-上可积函数的Parseval 等式

1、设()f x 在[,]ππ-上可积，且()f x M ≤，则存在[,]ππ-上的连续的折线函数列{}()n L x ，使得，

()()n n L L ππ-=，()n L x M ≤，且lim ()()d 0n n f x L x x π

π

-→∞

-=

，

从而

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