【智博教育原创专题】抽象函数经典习题

抽象函数解题策略

3 1

1.若函数f(2x 1)的定义域为 1, ,则函数f(log2x)的定义域为 ,2

2 2

2.若f(n 1) f(n) 1(n N*)且f(1) 2，则f(100) _____102

3.定义R上的函数f(x)满足f(xy) f(x) f(y),f(9)

8，则f

_____4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1) 1,且对任意x R都有

f(x 5) f(x) 5,f(x 1) f(x) 1，若g(x) f(x) 1 x,则g(2002) _____1 【解析】由g(x) f(x) 1 x,得f(x) g(x) x 1，而f(x 5) f(x) 5，所以g(x 5) (x 5) 1 g(x) x 1 5, 又f(x 1) f(x) 1，所以

g(x 1) (x 1) 1 g(x) x 1 1，即g(x 5) g(x),g(x 1) g(x)，所以

g(x) g(x 5) g(x 4) g(x 3) g(x 2) g(x 1)，故g(x) g(x 1)，又g(1) 1,故g(2002) 1。

5.定义在区间( 1,1)上的减函数f(x)满足f( x) f(x)。若f(1 a) f(1 a2) 0恒成立，则实数a的取值范围是

_________0 a

【解析】由f(1 a) f(1 a2) 0得f(1 a) f(a2 1),

得

0 a 2 1 1 a 1

2

1 a 1 1 a a 0 0 a 2 a 12

1 a a 1

6.已知函数f(x)是定义在(0, )上的增函数,对正实数x,y,都有f(xy) f(x) f(y)成立，则不等

式f(log2x) 0的解集是_________ x1 x 2 【解析】令x y 1，则f(1) 2f(1) f(1) 0，则

∵函数f(x)是定义在(0, )上的增函数，f(log2x) f(1) log2x 1 log2x log22 x 2①，

log2x 0 x 1②，由①②得，不等式的解集为 x x 2 。

7.已知函数f(x)是定义在 ,3 上的减函数，已知f(a2 sinx) f(a 1 cos2x)对x R恒成立，

【解析】f(a2 sinx) f(a 1 cos2x)等价于

则实数a的取值范围

a

a sinx 3 a 3 sinx a2 3 1 a 1 cos2x 3 a 2 cos2x a 2 0

2 2 22

5

a sinx a 1 cosx a a 1 cosx sinx a2 a 1

4

a

a 2 a

a a

2

2

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