初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题

初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题

初一数学竞赛讲座(三)

数字、数位及数谜问题

一、一、知识要点

1、整数的十进位数码表示

一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成：

an 10n 1 an 1 10n 2 a3 102 a2 10 a1

其中，a i (i=1，2，，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0.

对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=anan 1 a2a1

2、正整数指数幂的末两位数字

(1) (1) 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位

数字。

(2) (2) 设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q的末位

数字相同。

3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。

二、二、例题精讲

例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。

解：设所求的四位数为a 103+b 102+c 10+d，依题意得：

(a 103+b 102+c 10+d)+( d 103+c 102+b 10+a)=9988

∴ (a+d) 103+(b+c) 102+(b+c) 10+ (a+d)=9988

比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18

又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0

从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7

故所求的四位数为1997

评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。

例2 一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。

分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。

解：设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：abc,acb,bac,bca,cab,cba，不妨设其中的最大数为abc，则最小数为cba。由“新生数”的定义，得

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