2010全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷

（考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．

1．函数f

x

2．已知函数y acos2x 3 sinx的最小值为 3，则实数a的取值范围是． 3．双曲线x2 y2 1的右半支与直线x 100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．

4．已知 an 是公差不为0的等差数列， bn 是等比数列，其中a1 3，b1 1，a2 b2，

3a5 b3，且存在常数 ， 使得对每一个正整数n都有an log bn ，则

． 5．函数f x a

2x

3a 2（a 0，a 1）在区间x 1,1 上的最大值为8，则它在

x

这个区间上的最小值是 ．

6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ．

7．正三棱柱ABC A1B1C1的9条棱长都相等，二面角B A1P B1 ，P是CC1的中点，则sin ．

8．方程x y z 2010满足x y z的正整数解（x，y，z）的个数是

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）已知函数f x ax bx cx d（a 0），当0 x 1时，

3

2

f' x 1，试求a的最大值．

10．（本小题满分20分）已知抛物线y 6x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1 x2且x1 x2 4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 ABC面积的最大值．

11．（本小题满分20分）证明：方程2x 5x 2 0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列 an ，使得

25 r

a1

2

3

r

a2

r

a3

．

第1页下一页