二项分布的期望和方差的计算方法综述

介绍了四种二项分布期望和方差的计算方法,并对其进行评价,希望能帮助读者更深刻地理解二项分布,掌握好期望和方差的性质。

第3 2卷

第 l期 2

宜春学院学报 Ju a fYih nC l g o r lo c u ol e n e

Vo. 2, N . 2 13 o 1 DC . 01 C2 0

21 00年 1 2月

二项分布的期望和方差的计算方法综述程志明

(暨南大学经济学院统计学系，广东广州 5 03 ) 162

摘

要：介绍了四种二项分布期望和方差的计算方法，并对其进行评价，希望能帮助读者更深刻地理解二项

分布，掌握好期望和方差的性质。关键词：二项分布；阶乘矩；条件期望；矩母函数

中图分类号：O 1.文献标志码：A文章编号：17 3 0 (0 0 2— 0 1- 2 2 13 6 1— 8 X 2 1 )1 0 2 0 二项分布是一种常见的离散概率分布，它在理论和实践中都有很重要的作用；同时，期望和方差是各种分布的

= p (;一，=p n∑b n 1 ) n y p t :0

基本的数学特征。对于统计学的初学者，掌握二项分布的期望和方差的计算方法，是必不可少的。在计算连续概率

接下来计算变量 x的 2阶阶乘矩：

E( [ )]= E X X一1][( )

分布的期望和方差时，初学者能够运用到积分 ( ) f运算。与此不同，计算离散概率分布的期望和方差时，积分 ( ) I

运算变成了加总 (∑ )计算过程变得相对复杂了。 ,一个好的计算方法既要有助于人们理解期望和方差，又要计算简便以免打击学习的积极性。

熹 g… ~n) (1耋 -p 2 ~( )荟兰一1 p

一 g… 口

将对四种二项分布的期望和方差的计算方法加以介绍，并综述各自的优缺点，希望能帮助读者更深刻地理解二项分布，掌握好期望和方差的性质，夯实概率论和数理统计学的理论基础。 1阶乘矩法

= ( 1 (;一，= (一 ) n一 )∑b n 2 ) nn 1 p y p p 推出：a( Vt )=nn )2 p一(=n (一1p+n印) p一 , g

设 X是一个非负整数的离散随机变量， X= P( )=P,, x=0,,,,那么 12…

通过阶乘矩计算方差，显得不是那么直截了当，但在 x为非负整数的离散变量时，计算 E[ X一1]比计算 X( ) E )来得简便。该法运用分布列的概率总和等于 1的性 (

r阶阶乘矩为：

E(,[ )]=E X X一1 (一 ) —+1][( ) 2…( r ) =

质，使得计算简洁许多。许多教材都是通过这种方法计算二项分布的方差的，只不过都没有指出 E( X)、E X(一[ X 1]就是变量 x的 1阶阶乘矩和 2阶阶乘矩。运用这种计 )算方法来求其他离散变量的方差也是适用的，而且相对简便，此方法值得推广。同时，该方法也使我们认识清楚变量的矩与阶乘矩之间的关系。 2间接法

∑xx 1( 2…, 1, (一)一 ) (一+ )且当r0 =时，

E ( 0 ( ) )s l。

令r 1 2 E(。 ( =和，[ )]= ) E( [ )]=E X一1]=E )一E X [( ) ( () 于是，方差

Vr X)= ( )一[ (] a( E x)=E[ X一1]+E( X( ) )一[ (] E ) =

假设一6 n p (, ),X可以看作是 n次独立重复的贝努

里实验中事件 A出现的次数，其中 A在每次实验中出现的概率为 P。现在令

E[ X) (]+E[ )]一[ X)] (。 E(。

假 b,, x= p…,=,2,设~ (p e= ) ( ' 0,…, n)( n q ) l, I 1阶阶乘矩： E[ )]=E( (。 X) g

置：f,第i: eA现在￣ e出 8 ‘ ( )=P, r置 )=P,五 W ( q l≤≤ n

L,第次试验中 A没有出现。 0在

f 1…l:,, 2 ’

显然置(≤ 1≤,是服从 O分布的随机变量，所以 I )一1