复变函数积分的计算方法探讨

复变函数

教学研究

复变函数积分的计算方法探讨

黄琪１袁蒋伟２

（１、上海电力学院上海２０００９０；温州瓯海中学浙江３２５０１４）

【摘

要】学习了复变函数以及解析函数的概念之后，有关复变函数积分的计算，成为了迸一步学习复变函数知识的重要内容。本文

归纳了三类基本的复变函数积分运算方法，并用相同的例题清晰的展现了利用柯西积分公式和利用留数定理这两种不同的方法计算相同积分问题时的异曲同工之妙。

【关键词】解析函数柯西积分公式留数定理上海市科委基金（０７１６０５１２３）

学习了复变函数以及解析函数的概念之后，有关复变函数积分的计算，成为Ｔ进一步学习复变函数知识的重要内容。此部分内各覃节较多，所讲述的定理较多，由定理产生的计算积分的方法也随之层出不穷。在学习完这些章节之后，有必要清晰的归纳出复变函数积分计算的几类基本方法，并分析、归纳这些方法的．其通、相异之处。

第一类基本方法，即柯西基本定理：

定理Ｉ设Ｃ为区域Ｄ内一条正向简单闭曲线，若，乜）在Ｄ内处处解

析，则曼／（ｚ）出＝ｏ

例ｌ计算’ｋ刍

解

，口）＝去在Ｈ－－＇内部及圆周上处处解析，由定理Ｉ，此积分

ｊｋ墨－ｏ

第二类基本方法，复合闭路定理加上柯西积分公式，叙述如下：

定理ＩＩ设Ｃ为区域Ｄ内一条正向简单闭蓝线，若，∽在Ｃ内有奇点气．（七＝１

２…一）．则ｔ，（ｚ弦：主重．厂∞出，其中气为包含奇点气的简单

闭曲线且互不包含互不相交（七＝１．２…一）．

定理ｍ设ｃ为区域Ｄ内一条正向简单闭曲线，若，口）在Ｄ内处处解析，

勾为ｃ

内任一点，

则真尝挚＝２形（砧，

疋卷≯＝等∥（帕砌。…）

根据定理Ⅱ、定理ｍ，可以计算一些积分的值，举例如下：

仞２计算ｋ麦葛出

解珏。老马出＝复亏工出＋爨吾＝加［等Ｌ＋加［专气

；２ｍ十２ｍ＝４州

（其中ｑ、ｃ，为分别包含奇点０、ｌ的互不相交互不包含的简单闭曲线）

例３计算０，筹出

解

乜一ｌ

２ｚ一１

：轧；丽２ｚ－１出＝妻写珏＋靠，舌＝抑［器Ｌ＋鲁［ｃ竽Ｌ

万方数据

＝一拥＋拥［；ｋ＝一拥＋２币＝ｏ

（其中ｃｌ、勺为分别包含奇点ｏ、ｌ的互不相交互不包含的简单闭曲线）第三类基本方法，留数定理结合留数的计算规则，如下：定理Ⅳ设Ｃ为区域Ｄ内一条正向７旨ｆ单闭曲线，看＿，０）在Ｃ内有

奇点气．（七＝１

２．…月）’贝ｆＪ上／ｏ）出＝２力∑Ｒｅ４Ｓ（ｚ）。ｚｄ “

定理Ｖ

若而为，０）的一级极点，则Ｒｅ盯口），而】．１ｉｒａ０一而），０）；Ｈ，Ｉｔ

若而

为

／∽

的

ｍ

级极

点

，

则

Ｒｅｄ－，∞。毛】＝而１罂萨ｄ＇ｔ＇＇ｌ（。一毛）。㈨）

由以上定理Ⅳ、ｖ，我们分别来计算上面已经计算过的例２、例３．

例ｚ计算ｋ：老杀出－

解０，赫出圳州而２ｚ－］，卟酬磊川，

＝拥（嘎等＋ｌ。ｉｒａ．２ｚ：－１）＝拥（１＋１）＝锏

例３计算’ｋ赫出

：０。砉斋…础ｄ砉扣协缸砉扣

解

＝２ｍ｛ｈ—ｍ峄一。＋西１可酱乙ｄ—２ｚ－司Ｉ＝拥（．１＋姆；）

＝２币（一１＋Ｄ＝Ｏ

由以上对各定理、例题的讨论可以看出，首先，第二类、第三类计算积分的办法，都是针对积分曲线ｃ内部有奇点的情形，如果Ｃ

内部投有奇点，则由第—类计算方法，积分为零。其次，运用第二类、第三类方法可以计算相同积分，比如例２、例３，能得出相同的计算结果．可见，运用柯西积分公式与运用留数来计算积分，有异曲同工之妙．当然，，例２与例３略有区别，例２中，拓）两个奇点都是—级极点，而例３既有一级极点，也有二级极点，计算略复杂．参考文献

１１】西安交通大学高等数学教研室《复变函数（第四版）》【Ｍｌ北京：高等教育出版杜１９９６．５●

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