[复变函数与积分变换][课件][第1章][复数与复变函数]

《复变函数》

第一章 复数与复变函数

§1．复数及其代数运算

复数：z

=x+iy， i= 1 ——虚数单位． x= Re(z) ——实部， y= Im(z) ——虚部．

两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小． 复数的代数运算：z1加法：z1

=x1+i y1, z2=x2+i y2．

减法：z1

+z2=(x1+x2)+i (y1+y2)； z2=(x1 x2)+i (y1 y2)；

z1z12x1x2+y1y2x2y1 x1y2

==+i , (z2≠0)．乘法：z1 z2=(x1x2 y1y2)+i (x2y1+x1y2)；2222z2z22x2+y2x2+y2

复数的运算满足交换律、结合律和分配律． 共轭复数：z

=x+iy，=x iy．

满足：

z1 z1 zzzz, zzzz , ±=±= 2121212(1) 1 =z； (2) z z 2 2

(3)

=z；

z z=x2+y2；

(4)

z+z=2x， z z=2 i y．

例1．设 z=

13 i

，求 Re(z)，Im(z) 与 z z． i1 i

( 1)( i)3 i (1+i) 1 33 31915

=i +i = i， Re(z) = 3，Im(z)= ， z z=+=．解：z=

i ( i)(1 i)(1+i)24422 22 22

§2．复数的几何表示

1．复平面

→(x, 平面上建立直角坐标系xoy，这样 (1) z= x+ iy←

x轴――实轴， y轴――虚轴． 两轴所在平面称为复平面．

(2) 复数 z= x+ iy 可用从原点指向点 (x, y) 的向量表示．

2

z 的摸：z=r=x+y． zz=z=z．

2

2

一 一 对 应

2

辐角：当 z≠0时，向量 z与x轴正向的交角θ，记Argz =θ． x tg (Argz)＝y．

辐角主值：Argz 的主值 argz=θ0，满足 π<θ0≤π． 这样，Argz= argz+2kπ, (k∈Z)． 注：当z=0时，辐角不定．

复数的加减法运算与向量的加减法法则一致．

(3) 三角表示法：z=r(cosθ+isinθ), r=z, θ=Argz．

iθiθ22

z=re, r=z, θ=Argz, e=cosθ+isinθ=cosθ+sinθ=1． (4) 指数表示法：

例1．将

z=1 i3 化成三角表示式和指数表示式．

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