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中国科学技术大学
2007—2008学年第一学期考试试卷
考试科目：概率论与数理统计 得 分： 学生所在系： 姓 名 学 号：
（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）
一、（15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p代表了某种有用的信息，由于某种原因需要对其保密。现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛一枚硬币（每次正面出现的概率为 ），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的为反面，则原序列中相应的数字由x变成1 x（即0变成1，1变成0）。加密后的序列可以公布，其中1的概率p可以估计出来。若知道 的值，就可以从加密后的序列中的1的频率为p计算出原序列的p，所以 称为“密钥”。
（1） 现已知p 0.7，如果“密钥” 0.4，试求p； （2） 试说明为什么均匀硬币（ 0.5）不适合用来加密。
二、（15分）设随机变量X满足：|
*
*
*
X| 1,P(X 1) 8,P(X 1) 4，而且，
X在( 1,1)内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：
（1）X的概率分布函数F(x) P(X x)；
（2）X取负值的概率； （3）X的数学期望E(X)。
三、（20分）二维随机变量(X,Y)的密度函数为：
Ae (3x 4y),(x 0,y 0)
f(x,y)
0,其他
（1）试求系数A ？；（2）X与Y是否独立？ （3）试求Z X Y的密度函数fZ(z)； （4）试求Var X|X Y 1 。
2007—2008学年，第一学期，第1页（共2页）
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