2013 年北约自主招生数学试题评析

2013年北约自主招生数学试题评析 福建省厦门一中 徐小平 361003

2013年“北约”自主招生考试于2013年3月16日进行，北京大学等11所高校联合进行“综合性大学自主选拔学业能力测试”已是第四年.也是自主招生考试方案改革的第一年，即考试科目为2门，理科为数学+物理，文科为语文+数学。全部试卷及答题卡在开考时一并下发，开考3小时后一并收回。尽管考试形式发生较大变化，但今年的数学试题形式与去年相比变化不大，今年是六道选择题（即本文中的题1至题6，因不影响解析，本文均未给出选项）和四道解答题.命题主要体现了11所综合性大学人才培养的总体目标和办学特色，重点考查考生在环境和情景中综合运用知识的能力，对代数变形和分析转化能力要求较高.近年北大保送生和“北约”自主招生数学试题的一个非常显著的风格就是讲究“顿悟”，只要抓住问题的本质，都不会有繁杂的计算.本文就2013年“北约”联盟的自主招生数学试卷作相关评析，供广大师生参考. 题1.

和1 为两根的有理系数多项式的最高次的次数最小是多少？

评析：本题考查多项式的有关知识，高于课标要求，知识上有所拓展，与2009年清华大学一道保送生考试试题类似，因为是选择题，难度不大，但如果没有多项式相关知识或不会构造，则不易得出正确选项.

解：方程(

x

2)((x 1) 2)和1

2

3

厦门xm一yz中xx徐p@小163. com

为两根的有理系数多项式中次数最小的首

项系数为1

的多项式，其次数为5，和1 为两根的多次项整系数方程的最高次的次数最小是5

题2.在6 6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

评析：本题考查排列组合知识，考查了组合中计数问题中最基本的乘法原理，属于高考要求，是本次考试中较易的一道试题.

解：红色车选三列有C6 20种方法，再从这三列中选三行有C6 20种方法

3

3

黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选，共有3 2 6种方法， 因此方法数有20 20 6 6 14400种

2

2

3

2

2

3

题3.已知x y且x 2y 5,y 2x 5，求x 2xy y

评析：本题具有明显的“北约”特色，即多思少算，考查方程知识，对代数变形的能力要求较高.

解：x 2xy y x(2y 5) 2(2y 5)(2x 5) y(2x 5)

3

2

2

3

x(2y 5) 2(2y 5)(2x 5) y(2x 5) 15x 15y 4xy 50

22

由x 2y 5,y 2x 5两式相减得(x y)(x y) 2y 2x故y x或x y 2

2

因为x y所以x y 2则x,y均满足方程t 2( 2 t) 5 2t 1因此xy 1

3223

所以x 2xy y 15x 15y 4xy 50 30 4 50 16

题4.△ABC中AD为BC边上中线，DM,DN分别为 ADB, ADC的角平分线，则BM CN与MN的大小关系是？

的证明则主要是用到全等以及反证法.

解：如图，在线段AD上取点P使得DP DB DC,则易证得△△BMD △PMD,△CND △PND,

B

所以BM CN=PM PN MN

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