黎曼猜想

南开大学数学文化

黎曼猜想

这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼ζ函数： ζ(s)=∑n=1∞1s

1

s=σ+it 的直线上。 的非平凡零点都在σ=

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式P(x)的零点也就是代数方程P(x)=0的根。根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法，即

P(x)=anxn+an 1xn 1+"+a1x+a0=an(x x1)(x x1)"(x xn)

当s为大于1的实数时，ζ(s)为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式： ζ(s)=

但是，这样的ζ(s)用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此，∞∑n=11s=ΠP1 (1 1)ζ(s)的零点就成为大家关心的头等大事。ζ(s)有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在σ=

这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。

这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。

更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种ζ(s)函数和它们的推广L函数，它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。 2这条直线（后称为临界线）上。

第1页