函数在区间上一致连续和不一致连续的几个判别法

一致连续,本科,硕士,博士

第１８卷第３期

呼伦贝尔学院学报

Ｎｏ．３

‘

Ｖ０１．１８

函数在区间上一致连续和不一致连续的几个判别法

林新和

（呼伦贝尔学院数学科学学院

内蒙古海拉尔０２１００８）

摘要：本文通过对一致连续函数判定方法的研究，给出了几个简便有效的判定函数在给

定区间上一致连续或不一致连续的方法．

关键词：函数：一致连续；连续

中图分类号：０１７４．１

文献标识码：Ａ

文章编号：１００９４６０１（２０１０）０３．００６８－０２

一、回顾

判定函数在区间，上是否一致连续，有如下一些充分条件：

‘

ｋ’一ｚ”Ｉ＜６时，ｆ（ｘ７）一ｆ（ｘ”）Ｉ《￡

取爿．莩，ｖ工’，工”∈，，不妨设石’＜ｘ”，则

Ｏ

若厂０）在闭区间上连续则／（ｘ）在区间上一致连

续；若函数在区间Ｉ（有限或无限）上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ

科∈Ｚ＋，使（Ⅳ－１）６把ｂ’，ｘ。ＪⅣ等份：

ｘ’Ｉ

ｓ

Ｘ。－－Ｘ’＜Ｎ６。

条件或导数有界，则厂０）在，上一致连续；

若厂Ｏ）是（一∞，＋∞）上连续的周期函数或厂似）在（一∞，＋∞）上连续且ｌｉｒａ厂Ｏ），ｌｉｒａ厂Ｏ）

存在，则厂Ｏ）在（－－００，＋∞）上一致连续；

若／（ｕ）在区间，。上一致连续，妒Ｏ）在区间，２

ｘｏ＜石ｌ‘工２＜…＜Ｘ＾ｒＩ工。，则每个，Ｊ、区间于是有：

长度小于６，

上一致连续，且协＠），Ｘ∈，２｝ｃ，ｌ，

厂（妒Ｏ））在区间Ｉ：上一致连续。

二、理论

则复合函数

ｌｍ’）一他”）Ｉｓ∑Ｉ，（ｔ一。）一厂瓴）ｌ＜Ｎ￡

而

以上这些判别法对诸如：工２，ｅ。，ｓｉｎＸ２等函

数在无穷区间上一致连续性的判定就无能为力了。

为此，下面结合教学研究给出函数在无穷区间上一致连续或不一致连续的几个判定法．

定理１

彳ｋ’一ｚ”Ｉ＋￡≥‘２６ｅ、＂Ｎ一１）６＋Ｆ－（２Ｎ一１）￡，故ｌ厂（ｘ’）一ｆ（ｘ”）ｌ墨彳ｋ’一ｚ’｜＋￡，

证明完毕。

由此定理易得如下结论：

推论１

函数厂０）在区间Ｉ上一致连续营

设，Ｏ）在区间，上一致连续．则

对Ｖ￡＞０，弘＞０，使对Ｖｘ’，Ｘ”∈Ｉ，恒有

私＞０，Ｂ＞０，使得对坛７，ｘ”∈，，有

Ｉ／（ｘ’）一／（ｘ”）ｌｓＡｘ’一Ｘ”Ｉ＋占。

证明：充分性显然。下面证明必要性。

Ｉ，Ｏ’）一ｆ（ｘ’）ＩｓＡｌｘ’一工”Ｉ＋口。

证明：在定理Ｉ中，取推论２

￡Ｉ

Ｂ即可。

。．‘ｆ（ｘ）在区间上一致连续．

．．．ｖｆ，０．３

６，０当Ｘ’，Ｘ”∈Ｉ．且

设／（ｘ）在区间（一∞，＋∞）上一致连续．则私＞０，Ｂ＞０，使得对

坛∈（－－００，＋∞）

投稿日期：２０１０．５．１７

作者简介：林新和（１９６４－）男，汉族，呼伦贝尔学院数学科学学院副教授，研究方向：数学教学及研究．

．６８．

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