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26．1 二次函数
题目 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC + BD
10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？（P1810题）
分析
阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（AC⊥BD）和数量关系（AC + BD = 10）去表达四边形
ABCD的面积．
解 设AC与BD相交于O，AC
= x，则BD = 10－x（0＜x＜10因为四边形ABCD的两条对角线
AC与BD互相垂直，所以四边形 ABCD的面积
222211125= x2 5x (x2 10x)= (x 5)2 ．
2222S
1
AC OD
1
AC OB
=
1
AC(OD OB)
1
AC BD
12
x(10 252
因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为． 戊
点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中
有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x，则BD = 10－x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量．
演变
变式1 （图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC + BD = 10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状．
分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况）
乙 丙 丁
解 如图甲、乙、丙、丁，问题显然．如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC = x，则BD = 10－x，（0＜x＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积
S = S△ABD－S△CBD =AO BD
21
121CO BD
2
=BD(AO CO)
2252
112
BD AC
12
(10 x)x
=
12
x 5x
2
12
(x 10x)=
2
2
(x 5)
．
252
因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为说明：如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值． 根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得： 变式2 （关系变式）
． B
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