亚洲物理竞赛试题5

理论题 5： 嘎吱作响的门（第12届亚洲物理竞赛试题）

嘎吱作响的现象很常见。开关门和橱柜时、粉笔在黑板上划过时，拉小提琴时，穿新鞋子在地上走时， 汽车刹车时，还有日常生活中的很多其它场合都可以发现这种现象。在以色列，类似的现象每隔几十年就会导致一次剧烈的地震。这些地震来源于死海裂谷，而死海正好位于地壳上已知最深裂缝的正上方。 嘎吱作响现象的物理机制与弹性以及静摩擦系数和动摩擦系数之间的差异有关。在本题中，我们要探讨此机制，并具体地研究开门的例子。

第一部分：一般模型

考虑如下系统 （见图1）：

一个质量为m的盒子与一个长的理想弹簧（劲度系数k）相连，弹簧的另一端以恒定速度u被驱动。盒子和地面之间的静摩擦和动摩擦系数分别为μs和μk，且μk＜μs。

我们要来探讨为什么这个系统可以有下面两种不同形式的运动：

1．摩擦总是动摩擦。这被叫做为纯滑动模式。

2．动摩擦和静摩擦交替发生。这被叫做黏滞-滑动模式。

黏滞-滑动模式是常见的嘎吱声的来源。 图1 解释嘎吱作响现象的一般模型

a．在初始时刻，t=0，盒子在地面上以速度v0滑动，弹簧的张力恰好与动摩擦力平衡，假设0＜v0＜u。弹簧伸长量x将是时间t的振荡函数。

a1．求此振子的振动周期T0和振幅A。

a2．定性地画出0＜t＜3T0时间间隔内，弹簧的伸长量与时间的关系x(t)。

b．现在考虑t=0时盒子静止，而弹簧的初始伸长量x与(a)部分中相同时的情况。定性地画出0＜t＜3T0时间间隔内，盒子相对于地面的速度随时间的变化关系v(t)。其中，T是（新的）振动x(t)的周期。规定向右运动时速度v符号为正。在你的图上标出v=u的那条水平线。

c．采用(b)部分的初始条件，求出充分长时间以后弹簧伸长量的时间平均值x。

d．采用(b)部分的条件，求x(t)的振荡周期T。

一般来说，黏滞-滑动运动在驱动速度u很大时会停止。我们现在来讨论这个现象的可能机制之一。 e．假定在每一个振动周期T中，由于其它原因，一小部分能量会以热的形式在弹簧中耗散掉。令η=| A/A |为一个纯滑动周期内，这种附加能量耗散引起的相对振幅损失系数。对于η<<1，当驱动速度超过某一临界速度uc后，黏滞-滑动运动将不可能出现。请求出此临界驱动速度uc。

（e）部分得到的结果在第二部分中不用到。

第二部分：会嘎吱作响的门

门轴是一半径为r、高度为h及壁厚为 r的中空金属圆筒。如图2所示，此金属圆筒的下端被放置于一个固定在墙上的金属台基上（两者的接触面是一个半径为r的圆环）。圆筒的底部与金属台基之间的静摩擦及动摩擦系数分别为μs及μk，且μk＜μs。圆筒的上部连到门上，而门可视作刚体。一般的门都会用上二至三个这类的门轴，但门的重量只会集中于其中一个上，而就是这个门轴会发出嘎吱声。发出嘎吱声的门轴会通过金属圆筒的下底将质量为M的整扇门的重量加到金属台基上。

门 墙

图2 门的示意图 图3 扭变后的门轴

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