一元函数一致连续性的判定及性质

函数的一致连续性

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元函数一致连续性的判定及性质 常明 (平顶山市宝丰一高河南 宝丰 470 ) 6 4 0 文章编号：6 2 7 9 (o 9)1 1 3 0 17— 842 0 2~ 1— 2

中图分类号： 3 6 G6 8.

文献标识码： A

摘 一

要

本文介绍了一元函数一致连续性的几个判定方法及一元函数一致连续性一致连续函数的性质

所以 ) R上不一致连续。在

致连续函数的几个性质。

定理 2:,翻函数_∞在k6上一致连续，[c】又在 6】,上一致连续 6 < c,

关键词

则JJ 6】一致连续。在【c,上 证明：由腓 h6】上一致连续，故对任意 e, 8 o O>存在 ,>使得当

“函数一致连续性”是函数的一个重要性质，研究它有利于描绘函数的图饿有利于进一步地了解函数的性质。 1 0年， e e 8 7 H i定义 n了一致连续性，提出了“有限覆盖定理”。一百多年后的今天.经过数学家的探索对于“一致连续性”,我们有了更清楚的了解。我们知道， 函数_ )区间 I,在 上一致连续与函数 0在区间，上连续在概念上有着重大的差别：函数_,区间上连续是函数刷在区间上每一点 在

l2 k6且I1 8时，, E l 2<1有 X l

l睾<

() 1

同理在[,上一致连续，￣t 8 o存在 8>,得当 6c】 x ->,￣ 2O使

.【c且l l8时， E6 l | r<2有

l

.< J辜 f

() 2

都连续。是一个局部性质，函数在区间上一致连续则是整体性质，而 是更强的连续性概念。

令 8mn8￥1= i{L则对 80孙‰∈ l l8 2,>,当 kc且l r<时. ()粕E 6由() 1若 】 1式有 ' 6<<。 J 8 I

1函数一致连续性的几个判定 设函数 )为定义在区间，的函数，上若对任意 BO总存在 8 8>,:

(>, 8 o只要 E且一”<, )。”, I8都有’’ 8 ),, <则称函数 )在区 ,上一致连续。间

() 2若∈ c由 2式 k】 ()也有，

l辜<< 8

()奶∈ b s【c则I - l8I 6I8 3若 ] e6】 x b<,<。 m J' r .所以 IJ≤‰l J I+ IJ粕I

定理 1:口设函数在区问，上有定义。函数 .则，在区间，

上 一

致连续的充要条件是区间，上任意两个数列{} l f,只要l / m —

}+ s孚= 由一致连续的定义可知在【c 6】,上一致连续。 注此定理可减弱为：函数若 c上一致连续。】

=. o便有 . m ) .=

。

证明：必要性：因为函数在区间，上一致连续，则对任给的正

k6与[c】 6】,上连续， 则

k

数8,存在正数 8属于区间，对的任意两点，只要’”l8 ) )。 < 又因为l ^-.-

”<崴有 J5

定理 3: m若函数触 + ) *上一致连续。

+上连续，帆 )存在。在 *)且 则 ,由柯西准则知，对任意的 e O存在 M>,>, O当

I, 0对上述的正数 8 1j做= .存在正整数 j使得当时 v .

,Ⅳ有 I- I8从而有 l .,<,> I 所以 ■_.-

l8 <。

证明：因为矗， m_ 时 lzM,,>有 x

) 0】。 _

充分性：用反证法，函数 )假设在区间，上不一致连续，则存在

正数 g使对任意的正数 8都存在属于区间，’ .使得当 o,,的，, y

2< Je I

() 1

又由于触 一

k朋+】 r上连续， 1由一致连续定理知在h胁】 l上

I i时， <’ 但 ,‘

)≥8所以对 8 I o

/, 7

>, o存在区间，上的

致连续，故对上述 e, O>存在 8 O当∈ l l。,堪。【胁且钟 I8>】<- l8 (取￥mn81)= i(b,则对任意 E *)’“ 且 () 2”l8由()<时。 1

两数 l -1 I‘ l nl, )个列{,】{,< y ÷但 r≥:,…. ) :2 3 于是得到数列}y} ,^ c显然厶 ( m 一

时.有

=, o但

m ) oo b≥B此结论与已知条件矛盾所以充分性得证。> 注：此定理把一致连续的 e语言换成，, 8∽对于两个极限无限

()均有，”<。由 2两式 ) 8一致连 l续定义知触 连续。

)致上一

接近点集的函数性质。在一定情况下可使验证函数的一致连续性更 为简单。 例 l 函数 )在 R上不一致连续。咧证 证明： R上取两个数列^+ )在 ( 1 n 2 =//(+ )/n= l nn 1-n)O m( -

注：此定理讨论

了【 *)叶区间上连续函数的一致连续性，验证 了函数只要在端点极限存在的情况下就一致连续。从定理的证明

中，我们知道了￣ l f )存在，存在 M O使得俐在【。 i (= a r xA就>。 M +*)一致连续。

但/『— ) (/ : - e m( f一

m( 1n=≠O n - )l。+

例【证 )【m一连。 2= o )致续 l q求孚在，上+ 证明：由于函数在【+ )上连续，由罗比塔法则可知 O,又

叶毫又‘ 1 t 1 3

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