关于函数列的一致连续性的研究

函数的一致连续性

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昌吉学院学报

20年第 2 06期

关于函数列的一致连续性的研究 马雪雅 (昌吉学院数学系新疆昌吉 8 10 ) 3 10 摘要：本文通过函数列的一致连续性的研究，函数列的一致连续与一致收敛关系讨论数学分析中问用

题。这个概念和函数列的一致收敛性有着密切关系，而推导出几个相关命题。从

关键词：函数列；一致连续；一致收敛

中圈分类号： 1文献标识码： 文章编号： 7- 66(060 -09-0 07 A 1 1 4920)2 03 3 6

一

、

关于一致性的几个定义

一

致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他学科中常常用到，而且函数列的一致连续性和

致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、—致收敛的关系。本文就从这里人手展开讨论，对于函数的一致连续性我们知道有如下定义 一

定义 1函数，在数集 E上一致连续是指： V￡ O存在> O使得当：。, I : )对>,, z,∈E且 一 z z I<时， I (一f x )<￡有 fx) ( 2I。

函数的一致连续性定义使我们考虑问题角度从局部化问题转入了整体问题。:有界闭区间上的如“ 连续函数一定是一致连续的”在研究函数的整体性质时，。一致连续显的特别有用。例如：黎曼积分存在 时，有这样的命题如下： 命题若函数， z在区间[,] ()日6上有界，且至多具有有限多个点不连续点，则函数厂 z在区间 () ,

上可积。特别是：厂 z在区间[,上连续时，函数 ( )日则函数，在区间，上可积。 )

此命题的证明中，函数的一致连续性起着非常重要的作用。在实变函数中有名的卢津定理，给出了 连续函数和可测函数之间的关系，明用连续函数可以“表逼近”可测函数，从而可以用比较熟悉的连续函数，去把握比较抽象的可测函数，并在某些场合可以适当地把可测函数转化为连续函数。因而连续、一

致连续性的许多等价命题和定理，为研究实际问题提供了依据。对于函数列{ )的一致连续性要比 ) 函数厂 z的一致连续性复杂， ()因为它不只是涉及到一个函数，而是要涉及到一个函数列{ ( ), z )其定 义如下： 定义 2设函数列{ 续。

)在数集E上有定义， )若对任意给定￡,>O

总存在 0使得当；l 2 >, X,∈ X

E, I一x时，且 X 2<8对一切的 h I EN, I(1-f x)<￡则称函数列{ ()在数集 E上一致连都有 f x) 。I, ( fx) n 函数列{ ()在 E上一致收敛于 fx又有定义如下： f x) n ()

定义 3设函数列{ ()与函数 fx均在数集 E上有定义， fx) ()若对任意￡,>o总存在某个自然数 N, 使得当 n>N时，对一切 x 6E, I n )-fx I,都有{ ( ) ()<￡则称函数列{ ()在数集￡ fx fx ) n上一致收敛于 f ( ) x。

有了函数与函数列的一致收敛与—致连续的定义，{()与 fx一致性有如下命题：关于 f x ) () n 收稿日期：06 4 4 2 0一o—2 作者简介：马雪雅 (9 4 )女， 1 5一，回族，乌鲁木齐市人，新疆副教授，究方向：研基础数学 9 3

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