函数连续性与一致连续性的探讨

函数的一致连续性

长江大学学报 (自然科学版 ) 2 1年 9第 8第 9 01月卷期 J u n l f a gz nv r t ( a c E i S p 2 1,Vo. . o r a o n teU i s y N t i dt Y ei S ) e . 0 1 18 No 9

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函数连续性与一致连续性的探讨周 I益 ( 扬州工业职业技术学院基础部，扬州 250)江苏 200 [要]从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判摘定方法进行了讨论，以对函数连续性和一致连续的内涵有更全面的理解和认识。

[关键词]函数；连续；一致连续 [图分类号] O15 1中 7 .[献标识码]A文 [章编号] 17—1 0 (0 1 9 0 8— 2文 6 3 4 9 2 1 )0—0 0 0

函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容，函数 . z在某区间内连续，指函数厂 - 厂 ) (是 () z在该区间内每一点都连续，反映函数， z它 ( )在该区间上一点附近的局部性质，函数的一致连续性则反但映的是函数， z ( )在给定区间上的整体性质，有助于研究函数 .( )的变化趋势及性质。现有的数学分它厂z析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区问上一致连续的康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，笔者对函数一致连续性的概念、判定条件以及两者之间的联系进行了深入的分析和总结。

函数连续的局部性定义 1函数， )在 U ( )内有定义，函数厂 z (。则 ( )在点。连续是指 V￡ o]> o使得当>,, J z— z<时，: o『有

f ( ) f x ){ e z一 (o<

() 1

函数厂 z在点。连续， ()处是否意味着厂 z在。的邻域内连续呢？ ()或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的…。函数 Y: x )只在 z= 0连续；如 D(函数 Y一 (一 1 ( )一 2 D(仅在 z一 1 ) ), z一 2连续；如函数：又 I i 9 r s n兰 z

≠ 0

Y== z):=,(

() 2

【 0

一0

容易证明这个函数在任意点是连续的，却不能一笔画出函数在一 0的任意小邻域内的图形。上述例子表明“续”仅仅是一个局部概念，能仅从字面去理解， )在 z连不 (。连续。当且仅当，(在。的邻域 ) U (。 z, )内每一点都连续，能说厂 ) z的邻域内连续。才 (在。函数在点 z处连续的定义不能完全反映“。连续”二字的本意。但是，果在连续点。的函数值 f x )≠ 0那么上述情形就不会出现。如 (。, 命题 1设 _ z 厂 )在 z连续， f x )≠ 0则一定存在 z (。且 (。,。的某个邻域，厂 z使 ( )在此邻域内连续。

证明因厂 )点 z连续， Ve 0 3 (在。即 >,> o使得 Vz∈ U (。有：, z; ) 『 (一f(。< - - )厂 x )l v 工一

() 3

现对 Vz ∈ U (。,式 ( )显然有： z;)由 3 l ( 一 ( ) J - x) f。< 5 -, () 4

又 f(。 x )≠ 0当充分小时，,由局部保号性有： f x ) (。> 0 ( - z )厂 [收稿日期]2 1—0 0 1 7—1 5[作者简介]周明益，女，讲师，现主要从事基础数学方面的教学与研究工作。

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函数连续性与一致连续性的探讨