关于不等式证明的若干方法的探究

关于不等式证明的研究

第24卷(增)

(2009)

JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITY

内江师范学院学报

249

关于不等式证明的若干方法的探究

黄冬梅1,　王凡彬31,2,　蒲自均1,　田　英1　

(1.内江师范学院数学与信息科学学院,　四川　内江　641112;2.四川省高等学校数值仿真重点实验室,　四川　内江　641112)

　　摘　要:利用“对称”和“均分”等观点,并结合微积分知识,通过实例探讨了一些初等数学中不常见的不等式证明方法.其中,提出了“利用极限方法”证明不等式一种新方法,为不等式的进一步学习和研究提供了参考.

关键词:不等式;对称;微积分中图分类号:O178

文献标志码:A

文章编号:1671-1785(2009)S2-0249-02

3

1　引言

11y2-4x+21y+2.

证明　因

x2+3xy+2y2-2x-y-3=(x+2y)(x+y)-2x

-y-3=(x+2y-3)×(x+y+1)<0.

众所周知,在中学数学中,不等式证明常用的方法不外乎是比较法,分析法,综合法,反证法等等.然而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,仅中学教科书上这些证明方法不足以更充分开拓学生思维,为此,我们需要进一步探究不等式的证明方法,以启迪学生思维和开拓学生视野.本文通过“对称”和“均分”等观点[1-2],并结合微积分知识[3-5],.

2　2.1　利用式的对称性证明不等式

类似地,

2x2-21xy-11y2-4x+21y+2=(2x+

y-)(x--1)>0,

“双十字法”进行了因式分解.

2.3例3　证明:　当x>2(1+)时,有

(2x-1)+2(2x-3)+3(2x-5)+…+x<x3.

证明　在x>0的情况下讨论,令

形如式子x+y,a2+b2+c2式子中任意两个量交换位置后结果仍不变,这就是“式”的对称.可以用对称关系来解决一些不等式的证明.

例1　设a,b,c,d是正数,且满足a+b+c+d=1,求证

a+1+

b+1+

c+1+

d+1≤6.

lim

f(x)=(2x-1)+2(2x-3)+3(2x-5)+…+x,g(x)=x3,则有f(x)=,

6

于是

x→∞

证明　由

a+1

4a+1+≤=2a+,428

≤4

=limx→∞g(x)

x

3

=

.3

按极限的定义,对于ε=δ=2(1+)有

-g(x)

,取δ=2(1+),当|x|>4

注意到对称性有

(

a+1+b+1+c+1+d+1)

3

<ε=

,4

即有

0<

<<.12g(x)12

=,

22

即a+1+b+1c+1+d+1≤6,命题得证.从而f(x)<g(x),故结论成立.

2.4　平分法证明不等式

3

2.2　用“双十字法”证明不等式

例2　已知x,y>0且x+y=1,求证

x2+3xy+2y2-2x-y-3<2x2-21xy-

例4　若x>0,i=1,2,3,且

i=1

∑x

i

=1,则

　收稿日期:22

　基金项目:内江师范学院大学生科研项目(09NSD-176).

　作者简介:黄冬梅(1986-),女,四川遂宁人,内江师范学院数学与信息科学学院学生.

　通讯作者:王凡彬(1957-),男,四川富顺人,内江师范学院教授,研究方向:偏微分方程及其应用.

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