高中数学曲线轨迹方程的求法

曲线轨迹方程的求法

题目

高考要求

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其

转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性

质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和

重难点归纳

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲

线、抛物线、圆等)

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解

例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

命题意图本题主要考查利用“相关点代入法”求

曲线的轨迹方程

知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的

距离公式建立线段AB

错解分析欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方

技巧与方法对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关

点，求得轨迹方程

解设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR 又因为R是弦AB 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2

－|OR|=36－(x+y)

又|AR|=|PR|=(x 4)2 y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),

即x2+y2－4x－10=0

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