矩阵理论试题(2007级)

矩阵理论试题(2007级)

矩阵理论2007年考试

一、判断题（40分）（对者打 ，错者打 ）

'''1、设A,B Cn n的奇异值分别为 1 2 n 0， 1 2 n 0，

如果 i i'(i 1,2, ,n)，则||A ||2 ||B ||2. ( )

2、设A Cn n为正规矩阵，则矩阵的谱半径r(A) ||A||2. ( )

3、设A C

( ) n n可逆，B Cn n，若对算子范数有||A 1|| ||B ||，1则A B可逆.

0 4、设A a3 a 2 a30a1a2 222 1 a1 为一非零实矩阵，则 (a1 a2 a3)A为A的一个广义逆0

矩阵. ( )

5、设A为m n矩阵，P为m阶酉矩阵, 则PA与A有相同的奇异值. ( )

6、设A Cn n，且A的所有列和都相等，则r(A) A . ( )

1 i n7、如果x (x1,x2, ,xn)T Cn，则||x|| minxi是向量范数. ( )

0 18、A 1 0

9、设A C0401n n10610 1 至少有2个实特征值. ( ) 2 8

m ,则矩阵范数A与向量的1-范数相容. ( )

10、设A Cn n是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有I A 1, 其中I为单位矩阵. ( )

二、计算与证明（60分）

1. (10分)设矩阵A C

令L(x) Ax, 证明: n n可逆, 矩阵范数|| ||是C上的向量范数|| ||v诱导出的算子范数, n

max||L(x)||v||x||v 1

||y||v 1min||L(y)||v

||x|| 1 ||A|| ||A 1||. 证明: 根据算子范数的定义, 有max||L(x)|| ||A||,

||A 1x||y Ax||y||111 1, ||A|| max max x 0y 0||Ay||||Ay||min||Ay||min||L(y)||||x||min||y|| 1||y|| 1y 0||y|| 1

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