平面向量
平面向量中的最值问题浅析
耿素兰 山西平定二中(045200)
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主,解决此类问题要注意正确运用相关知识,合理转化。
一、利用函数思想方法求解
o
例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120.如图所示,点C在以O
为圆心的圆弧AB上变动.若OC xOA yOB,其中
x,y R,则x y的最大值是________.
图 1
分析:寻求刻画C点变化的变量,建立目标x




y与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解:设 AOC ,以点O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B( ,
1,22
C(cos ,sin )。
OC xOA yOB,
1 (cos ,sin ) x(1,0) y( 即
2y x cos 2
sin 2
x y cos 2sin( )(0 )。
63
因此,当
3
时,x y取最大值2。
例2、已知OA (1,7),OB (5,1),OP (2,1),点Q为射线OP上的一个动点,当
QA QB取最小值时,求OQ.
分析:因为点Q在射线OP上,向量OQ与OP同向,故可以得到关于OQ坐标的一个
关系式,再根据QA QB取最小值求OQ.
解:设OQ xOP (2x,x),(x 0),则QA (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)
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