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平面向量中的最值问题浅析

平面向量

平面向量中的最值问题浅析

耿素兰 山西平定二中(045200)

平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主,解决此类问题要注意正确运用相关知识,合理转化。

一、利用函数思想方法求解

o

例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120.如图所示,点C在以O

为圆心的圆弧AB上变动.若OC xOA yOB,其中

x,y R,则x y的最大值是________.

图 1

分析:寻求刻画C点变化的变量,建立目标x

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析

y与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。

解:设 AOC ,以点O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B( ,

1,22

C(cos ,sin )。

OC xOA yOB,

1 (cos ,sin ) x(1,0) y( 即

2y x cos 2

sin 2

x y cos 2sin( )(0 )。

63

因此,当

3

时,x y取最大值2。

例2、已知OA (1,7),OB (5,1),OP (2,1),点Q为射线OP上的一个动点,当

QA QB取最小值时,求OQ.

分析:因为点Q在射线OP上,向量OQ与OP同向,故可以得到关于OQ坐标的一个

关系式,再根据QA QB取最小值求OQ.

解:设OQ xOP (2x,x),(x 0),则QA (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

第1页

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