利用导数和积分求行列式的值

行列式的计算是线性代数中是一个重要组成部分,研究许多问题都要用到它.本文介绍了运用导数和积分求行列式的值.实践证明,对于某些结构复杂的行列式,用这种方法求解,便于抓住问题的实质,或简洁明快,或新颖别致.

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21年 02

第3期

利用导数和积分求行列式的值 张颖超 (西师范大学数学科学学院广西广 【摘

桂林

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要】行列式的计算是线性代数中是一个重要组成部分，究许多问题都要用到它.文介绍了用导数和积分求行列式的值.证研本运实践 、 )

明，对于某些结构复杂的行列式，用这种方法求解，便于抓住问题的实质，简洁明快，或或新颖别致 .

【关键词】行列式；导数；积分；求值 行列式是高等代数的重要内容 .出现在 1 7世纪和 1世纪的解线 8= n! . 性方程组中 . 1世纪得到了很大的发展 .到 9在代数学及其它内容的学因 D )f!~:一！ c为 (: d ( 1+ s ),习中有着广泛的运用 .所以如何求行列式的值是我们关注的对象.首先.求简单行列式的值，最常用的方法就是行列式的定义和性质n,捌 当一 1 D =,得 c ( 1 n 1 !,时， ( )O求=一 )一 ) (对于结构较为复杂的行列式，求解时往往需要一定的技巧比如，,降所以D )f!~x( 1+ 1( 1 (: d n ) ( )n ) :— !一 n一 阶法；升阶法；递推法；数学归纳法；利用范德蒙德行列式计算；利用余子式计算；利用拉普拉斯定理展开等一般情况下，阶行列式的计 .高 2积分法算是有规律可寻的 .以根据其特点采用合适解题方法 .可对于某些典型的高阶行列式 .可以根据其特点采用多种解法. 如果行列式中各元素是关于未知量的函数 .我们也可以考虑通高等数学和线性代数是大学数学，特别是理工科学生必学的基础过对求积分的方法解行列式的值.即积分法. 内容 .而微积分是高等数学的重要组成部分 .以本文用导数和积分所口l 触理 D l 求某些行列式的值 .即利用高等数学的知识处理线性代数的内容. l 那么： …

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1导数法 如果行列式中各元素是关于未知量的函数 .可以肯定得出来的行列式的值也是关于的函数 .那么我们可以考虑通过对求导数 . 找出行列式的规律 .从而简化行列式.

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也就是，行列式第 i列为的函数，其余元素均为常数，此行列对式积分就等于对这个行列式的第 i列积分 .其余元素不变，其中 i= 1 2,, .,… n

上述定理说明，对行列式求导数，是对每一列求导数的和，也就所以如果以恶行列式的某一列是关于的函数那么对行列式的值求导数等于对这一列求导数 . 例 1求 l 2 O C, 0 0 C1

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