11 度量空间的定义与极限

第一章 度量空间(Metric Spaces)

若在实数集R中点列xn的极限是x时，我们使用|xn x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n→∞而趋于0，即limd(xn,x)=0． 于是人们就想，在一般的点集X

n→∞

中如果也有“距离”，那么在点集X中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？

第一节 度量空间的定义与极限

1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设X为一非空集合．若存在二元映射d:X×X→R，使得 x,y,z∈X，均满足以下三个条件：

（1）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y (非负性 Positivity)； （2）d(x,y)=d(y,x) (对称性 Symmetry)；

（3）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) (三角不等式 Triangle inequality)，

则称d为X上的一个距离函数，称(X,d)为距离空间或度量空间，d(x,y)称为x和y两点间的距离．□

注1：在不产生误解时，(X,d)可简记为X． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间Rn．

设Rn={(x1,x2,",xn)|xi∈R,i=1,2,",n}，定义

d(x,y)=

其中x=(x1,x2,",xn), y=(y1,y2,",yn)∈Rn，可以验证(Rn,d)是一个度量空间． 在证明之前，做一些准备工作：重要不等式：

许瓦兹(Schwarz)不等式: 任给2n个实数a1,a2,",an,b1,b2,",bn，有

n

n

1

22i

∑ab≤(∑a

iii=1

i=1

)(∑b) (1.1)

i=1

n

122i

事实上，任取实数λ，则由

0≤∑(ai+λbi)=λ

2

i=1n

2

∑b

i=1

n

2i

+2λ∑aibi+∑ai2

i=1

i=1

nn

知右端二次三项式的判别式不大于零，于是可得(1.1)式成立．进一步有Hölder不等式

∑ab

i=1

n

ii

≤(∑ai)(∑bi)

i=1

i=1

n

p

1p

n

1qq

其中p,q≥1且

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+=1． pq

闵可夫斯基(Minkowski)不等式(和): 任给2n个实数a1,a2,",an,b1,b2,",bn，有

2 2 2

∑(ai+bi) ≤ ∑ai + ∑bi (1.2) i=1 i=1 k=1

n

1

2

n

12

n

12

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