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高中数学奥赛讲义:动点轨迹方程的求法

高中数学奥赛讲义: 动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时.

高中数学奥赛讲义:

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时.

22例1(1994年全国)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x y 1,

动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数 0 (如图),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.

解:设M(x,y),直线MN切圆C于N,

MN

MQ

则有 ,

22MO ON

即 MQ

x2 y2 1 ,

(x 2) y22.

222222( 1)x ( 1)y 4 x (1 4 ) 0,这就是动点M的轨迹方整理得

程.

若 1,方程化为x 55(,0)4,它表示过点4和x轴垂直的一条直线;

22 2

21 3 22 2(x-2) y 2(2,0)2 1( 1) 1若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,

3 2

2 1

为半径的圆.

二、代入法

若动点M(x,y)依赖已知曲线上的动点N而运动,则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况.

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