02初中数学竞赛中的轮换对称式求值问题

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中等数学

初中数学竞赛中的轮换对称式求值问题 沈 中图分类号： 0 1 2 2 . I 文献标识码：A

毅 文章编号：1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 1 2— 0 0 0 2—0 4

(四川省成都市第七中学初中学校， 6 1 0 0 4 1 )

(本讲适合初中) :一

6 c. :4—6一c .

所谓轮换对称式，是指将代数式中的变量按照任意次序轮换后代数式不变 (如n 6+6 c+ c a ) . 轮换对称式极具数学美感，而与其相关的求值问题对代数恒等变形技巧要求颇高，已成为近年来初中数学竞赛考查的热点.本文讨论这类问题求 解的一些常用方法. 1常用公式 ( 1 ) a +b + c + 2 ( a b+ b c+ c a )=( a+ b+ c );

r上

注意到， n 1 l

a一3 n一 1

1 a— j一—— Ⅱ

b c—b—c+ 1

1

类似地， c 2

: = 1

,

( 2 ) a+b +c一a b—b c—c a =

c

—

3 c一1一( a一1 ) ( b一1 )‘

÷[ ( 0一 b )+ ( b— c )+ ( c一口 ) 】, ( a+b+e ) (。+b+ c一a b—b c—c a );

故 l 一

+ l

+南

l

口+b+c 3—3 a b c =

::… ( b一 1 ) ( c - 1 ) - . I - ( c一 1 ) ( a一 1 )’ 4 . - ( b一 1 ) ( c一 1 ) ( 3 ) a b c+口 6+6 c+c a+a+b+c+1 =

± ±!二

( a一 1 ) ( b一 1 ) ( c一1 ) =:一

( a+1 ) ( b+1 ) ( c+1 ); ( a一1 ) ( b一1 ) ( C一1 ) = ( a一1 ) ( 6—1 ) ( c一1 ) = a b c一( 0 6+6 c+ c a )+( a+b+ c )一1 =

( 4 ) a 2 b+b 2 c+C 2 a—a b 一b c 一c a =

( a—b ) ( b—c ) ( a—c ) .

2例题选讲 2 . 1 因式分解例 1已知实数 a、 b、 C满足 a b c=一1, n+b+C=4,

1

j a b+6 c+c a= l j a 2+6+c =

( a+ b+ c )一 2 (口 6+ 6 c+ c a )= 1 4 .

口2 一

C 3 a 1+ b 3 b 1+ 2

2 一 一 一 一

3 c 1= 1 . 一

一

例 2若正数 a、 b、 c满足

求a + b + c的值.

【分析】因为式①分母无公凶式，是不好处理 的一个条件，所以，选择从式①的变形人手. 解 F} 1题中条件知

( 求代数式 —

2 +—

2 +—

) 2 c 3 '

b+c一口 c 2+口一6 2 口+6 2一c

收稿日期： 2 0 1 4— 4—2 0 1

的值 .

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