初一数学竞赛辅导

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(1):y△x , x△y ,(2)(x－1) △(x+1) ,x△x－ 1, (3): x△ (y△z), △ △ － △ － △ (x△y)△z,你发现什么 你发现什么? △ △ 你发现什么 解(1):y△x= (y+1)(x+1) －1 =x△y △ △ (2).(x－1) △(x+1)=(x－1+1)(x+1+1) －1 － － =x(x+2) －1 =x2+2x－1 － x△x－1=(x+1)(x+1) －1 =x2+2x △ － (x－1) △(x+1) ≠x△x－ 1 － △ － (3).x△(y△z)=x△［(y+1)(z+1) －1］ △ △ △ ］ =x△［yz+y+z］=(x+1)(yz+y+z+1) －1 △ ］ =xyz+xy+xz++x+yz+y+z 类似的(x△ 类似的 △y) △z==xyz+xy+xz++x+yz+y+z ∴ x△ (y△z) = (x△y)△z △ △ △ △
如果运算x△ 定义为 定义为:x△ 如果运算 △y定义为 △y=(x+1)(y+1) －1,计算 计算
a+b 1 定义运算△为 : a△b = , 且3△m = ? , 求m 2 △m = ? b?a 5
1 解 : 3△m = ? ∵ 5
∴ m △m = 4△(? 2 )
2
∴15 + 5m = ?m + 3 ∴m = ?2
3+ m 1 ∴ =? m?3 5
4 + (? 2 ) 1 = =? ?2?4 3
定义 : a ∨ b表示a、b两数中取较大的一个, a ∧ b表示两个数中 取较小的一个, 则(1996 ∨ 1998) ∧ (1997 ∨ 1999) = ?
(1997 ∨ 1999) = 1999 ∴ (1996 ∨ 1998) ∧ (1997 ∨ 1999) = 1998 ∧ 1999
a b 2x 2 规定 = ad ? bc, 如果 < 8, 求x的范围 c d ?1 ?1 2x 2 解Q <8 ?1 ?1
解 :由定义(1996 ∨ 1998) = 1998
= 1998
∴ x > ?3
∴ ?2 x ? (? 2 ) < 8
对正数x. y定义运算"※" , x※y = ax + b + 7, 已知1※2 = 975,2※3 = 989, 则2※9 = ?
y
解 :由已知1※2 = a ×1 + b + 7 = 975
2
3
2※3 = a × 2 + b + 7 = 989 ∴ a + b = 968(1)
∴a = 2 b = 966 9 ∴ 2※9 = 2 × 2 + 966 + 7 = 1997
(2) ? (1)得 : 7a = 14
8a + b = 982(2)
整体思想
某市抽样调查了 户家庭的收入 其中年收入最高的 1000 ,
只有一户, 是38000元;由于将这个数据输入错 了,
所以计算机显示这1000户的平均收入比实际平均收入
入值高出了 342 元 , 则输入计算机的那个错 误数据是多少 ?
解 : 设另外的999户年总收入为x元, 输入错的数为y元
x + y x + 38000 则 ? = 340 1000 1000 y ? 38000 342000 = 即: ∴ y = 380000 1000 1000
答 : 输入错的数为380000元.
是不全相等的实数,若 设x、y、z是不全相等的实数 若x=a2－bc,y=b2 、 、 是不全相等的实数 求证:x、 、 中至少有一个大于 中至少有一个大于0. －ac,z=c2－ab,求证 、y、z中至少有一个大于 求证
证明:∵ 证明 ∵x=a2－bc,y=b2－ac,z=c2－ab,
∴ x + y + z = a ? bc + b ? ac + c ? ab
2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 = a ? 2ab + b + b ? 2bc + c + c ? 2ca + a 2
1 2 2 2 = a + b + c ? 2ab ? 2bc ? 2ca 2
(
)
[(
1 2 2 2 = (a ? b ) + (b ? c ) + (c ? a ) ≥ 0 2 中至少有一个大于0 ∴x、y、z中至少有一个大于 、 、 中至少

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