数学中的恒成立与能成立问题
一、恒成立问题
1、由二次函数的性质求参数的取值范围
例题1.若关于x的不等式ax2 2x 2 0在R上恒成立,求实数a的取值范围.
解题思路:结合二次函数的图象求解
解析:当a 0时,不等式2x 2 0解集不为R,故a 0不满足题意; 当a 0时,要使原不等式解集为R,只需 综上,所求实数a的取值范围为(, ) 规律总结:
a 0
a 0
不等式ax2 bx c 0对一切x R恒成立 b 0或 2
c 0 b 4ac 0 a 0
a 0 2
x R b 0不等式ax bx c 0对任意恒成立 或 2
b 4ac 0 c 0
12
a 0
2
2 4 2a 0
,解得a
12
2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围
例题2:已知二次函数满足f(0) 1,而且f(x 1) f(x) 2x,请解决下列问题 (1) 求二次函数的解析式。 (2) 若f(x) 2x m在区间[ 1,1]上恒成立 ,求m的取值范围。 解题思路:先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.
解析:(1)设f(x) ax2 bx c(a 0).由f(0) 1得c 1,故f(x) ax2 bx 1. ∵f(x 1) f(x) 2x ∴a(x 1)2 b(x 1) 1 (ax2 bx 1) 2x 即2ax a b 2x,所以2a 2a ∴, b ,解得a 1b, 1f(x) x2 x 1
(2)由(1)知x2 x 1 2x m在[ 1,1]恒成立,即m x2 3x 1在[ 1,1]恒成立.
令g(x) x2 3x 1 (x )2 ,则g(x)在[ 1,1]上单调递减.所以g(x)在规律总结:
m f(x)对一切x R恒成立,则m [f(x)]min;m f(x)对一切x R恒成立,
则m [f(x)]max;注意参数的端点值能否取到需检验。 二、能成立问题
3524
[ 1,1]上的最小值为g(1) 1.所以m的取值范围是( , 1).
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