初一数学竞赛讲座⑺立体图形

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数学竞赛讲座

第7讲立体图形

空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象能力还需要提高。

将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。

一、立体图形的表面积和体积计算

例1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm2，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？解：水的体积为72×2.5=180（cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×6=32（cm2）的柱体，所以它的高为180÷32=5（cm）。例2 下图表示一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？

分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱长为1cm，所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。解：大正方体每个面的面积为4×4-1×1=15（cm2）， 6个面的面积和为15×6=90（cm2）。

小正方体的每个面的面积为1×1=1（cm2）， 5个面的面积和为1×5=5（cm2），

6个小正方体孔的表面积之和为5×6=30（cm2），因此所求的表面积为90＋30=120（cm2）。

想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来。

例3 正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。

解：根据“正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数”的条件，可知正方体的棱长有5，6，7，8，9这五种可能性。

根据“将正方形面积的两位数中两个数码调过来恰好是三位数的十位上与个位上的数码”，可知这个正方体的棱长是7。如右表：

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