2011数学秘籍

数学压轴题集

1. 已知函数

()ln ,()(0)a

f x x

g x a x

==

>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以

()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1

2

k ≤

恒成立， 求实数a 的最小值；

解：（1）()()()ln (0),a

F x f x g x x x x =+=+

>'221()(0)a x a F x x x x x

-=-=>.………2分 因为0a

>由'()0(,)F x x a > ∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a < ∈，

所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''

0002201()(03),()(03)2

x a x a F x x k F x x x x --=

<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1

(),2

a x x ≥-+当01x =时取得最大值

12。所以，12a

≥

，所以min 1

2

a =.……10分 2.已知数列

{}n

a 中,11

=a

, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，

且当2≥n 时,

1

1

11+-=n n n a a S .

（1）求证:数列{}n

S 是等比数列；

解：（1）当3≥n

时, N

n n n n n

n

S S S S a a S --

-=

-=+-+111

11111, 化简得112

+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得3

1111

a a a --=

, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,

∴数列

{}n

S 是等比数列. 4 分

4．已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ）.

(I)若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；

解：(Ⅰ)∵2

25)()(a a x x f -+-=（1>a ）,∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，

又定义域和值域均为[]a ,1，∴ ==1

)()1(a f a f ， 即

=+-=+-1

525212

2

a a a a ， 解得 2=a .

5．已知二次函数()2f x ax bx c =++．

（1）若

()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；

解：（1）()10,0,f

a b c -=∴-+= b a c =+

2224()4()b ac a c ac a c =-=+-=- 当a c =时0 =，

函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0 >，函数()f x 有两个零点。………4分

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