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求解线性方程组的直接解法
5.2 LU分解
① Gauss消去法实现了LU分解
顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU,
223 1 223 477 21 31 6 245 121
这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的历史得到这一点.因为从消元的历史有 ukj=akj-mk1u1j- mk2u2j -…- mk,k-1uk-1,j, j=k,k+1,…,n mik=(aik-mi1u1k- mi2u2k -…-mi,k-1uk-1,k)/ukk i=k+1,k+2,…,n 于是 akj=mk1u1j+mk2u2j+…+mk,k-1uk-1,j+ukj, j=k,k+1,…,n aik=mi1u1k+mi2u2k+…+mi,k-1uk-1,k+mikukk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段).将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分解,同时还求出了g, Lg=b的解.
② 直接LU分解
上段我们得到(lij=mij) ukj=akj-lk1u1j-lk2u2j -…- lk,k-1uk-1,j, j=k,k+1,…,n lik=(aik-li1u1k-li2u2k -…-li,k-1uk-1,k)/ukk i=k+1,k+2,…,n
2
诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很容易记住.可写成算法(L和U可存放于A): for k=1:n-1 for j=k:n ukj=akj-lk1u1j-lk2u2j -…- lk,k-1uk-1,j
end
for i=k+1:n
lik=(aik-li1u1k-li2u2k -…-li,k-1uk-1,k)/ukk end end
这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步计算存储.
考察上面的表格会发现还可安排其它计算次序,只要在这一次序下每个
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