柯西不等式的证明及应用

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柯西不等式的证明及应用

（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178

Identification and application of Cauchy inequality

Chen Bo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword：inequation prove application

柯西（Cauchy）不等式

1 2

2

222

a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an

b

2

2122 b2 bn

ab R,i 1,2 n

2

ii

等号当且仅当a1 a2 an 0或bi kai时成立（k为常数，i 1,2 n）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x) a1x b1 a2x b2 anx bn

2

2

2

22n222n

=a1 a2 anx 2 a1b1 a2b2 anbn x b1 b2 bn

2n

a12 a2 an 0

f x 0恒成立

2n 4 a1b1 a2b2 anbn 4 a12 a2 an b12 b22 bnn 0

2

即 a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an

2

2

2

n

b

2

1

2n b2 bn

当且仅当aix bix 0 i 1,2 n 即证明（2）数学归纳法

aa1a2

n时等号成立 b1b2bn

2

（1）当n 1时 左式= a1b1 右式= a1b1 显然 左式=右式

2

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