2011年高考数学全国新课标卷第21题_2_别解

高考数学

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数学教学通讯（教师版）

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２０１１年高考数学全国新课标卷（２）别解第２１题

赵忠平

甘肃永昌第一高级中学737200

教题（2）进行了另解.

师

版关键词：高考数学、新课标卷、别解

￡

摘要：研究高考试题，能够深入的理解高考命题背景和命题特点，本文对2011年高考数学全国新课标卷第21

高考试题研究是高中数学教学的一项重要而常规的工作.由于高考命题具有连续性、重复性，因此研究高考试题能够把握高考试题的发展方向，尤其是研究高考试题最常规、最能体现题目本质特征的解法，才能深入的理解高考试题的命题背景和命题特点，也才能发挥它在高中数学教学中的导向作用，提高高考复习的针对性和有效性.以下是对一道高考典型题的研究.

（1）当x>1时，由f（x）>

lnxk

+，得（k-1）（x2－1）<－2xlnx在x－1x

（1，+∞）上恒成立，令g（x）=（k－1）（x2－1），h（x）=－2xlnx，画出

h（x）的图象，过（1，0）点，且limh（x）=0，要使（k-1）（x2－1）<

x→0

+

－2xlnx在（1，+∞）上恒成立，只需当x>1时，g（x）的图象在h（x）的

图象下方，由图象知k>1时不成立，所以k≤1，故g（x）开口向下，过（±1，0）点，当x>1时由图象斜率变化知g″（x）≤h″（x）在（1，+∞）上恒成立，即k－1≤－

alnxb

已知函数f（x）=题目：+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））

x+1x

处的切线方程为x+2y－3=0.（1））求a，b的值；（2）如果当x>0且

1

在（1，+∞）恒成立，所以k≤0.x

y

x≠1时，f（x）>

lnxk

+，求k的取值范围.x－1x

lnx1

+，当x>0，x≠1时，f（x）>x+1x

-1

2e

解法1：（2）由（1）知f（x）=

lnxk2xlnx

+，即k<+1在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立.令g（x）=x－1x1-x22xlnx2（x+1）lnx+1-x

，x∈（0，1）∪（1，+∞），则g′（x）=+1.

1+x2（1-x2）21-x2

2

2

1

O

1

e

x

∈∈

再令h（x）=lnx+

（x2-1）21-x2

，x∈（0，+∞），得h′（x）=≥0，即1+x2x（x2+1）2

（2）当0<x<1时，由f（x）>

h（x）在（0，+∞）上递增.而h（1）=0，故当0<x<1时，h（x）<0，则g′（x）<0；当x>1时，h（x）>0，则g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上单调

递减，在（1，+∞）上单调递增.

又lim

x→1

图1

lnxk

+，得（k-1）（x2－1）>－2xlnx在x－1x

2xlnx2xln+2

+1∈+1∈=lim=01-x-2x

2

x→1

（0，1）上恒成立，令g（x）=（k－1）（x2－1），h（x）=－2xlnx，画出h（x）

，所以k≤0，即k的取值

的图象，要使（k-1）（x2－1）>－2xlnx在（0，1）上恒成立，只需g（x）的图象在h（x）图象的上方，当0<x<1时由图象斜率变化知

范围是（－∞，0）.

解法2：由（1）知f（x）=

lnx1

+，又当x>0，x≠1时，f（x）>x+1x

g″（x）>h″（x）在（0，1）上恒成立，即k-1≥-上恒成立，所以k≤0.

综上所述，k≤0，即k的取值范围是（-∞，0］.

1

在（0，1）x

lnxk

+恒成立.x－1x

５１

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