泰勒公式在不等式中的应用_陈晓萌

第 V o .

9 l

卷第期 9 N o .

昌滩师专学报 o u

2 00 0 ,

年 r .

4

月

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C冶 Il e

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0 2

00

泰勒公式在不等式中的应用 陈晓萌 (潍坊高等专科学校山东潍坊 ,

2

1 6

04

) 3 。

摘

要

本文通过典型题例说明应用泰勒公式证明不等式较为简便泰勒公式;不等式 .

关键词

中图分类号

0 17 5

4 1 ,

在高等数学中常常要证明一些不等式而证明不等式的方法很多 ,,

。

泰勒公式是微分中值定理 。 ,

格朗日中值定理的推广它除了在理论上的价值之外在证明不等式时应用也很方便

—在欲证明的不等式 。

拉

中 (或题设中 )含有一阶以上的导数一般可利用泰勒公式 ,

。

特别在已知某点的函数值 (或导数值 )或已知 下述几例充

函数的某阶导数有界以及已知函数的导数的正负时用泰勒公式证明某些不等式较为简便

分说明了这一点 1

。

已知某点的函数值 例 1 a设函数 f ( x )在「川上具有二阶导数且 f ( a ) ,

,

=

f ( b)

二

O

,

并存在一点 :

。

任(

a

,

。的使 f ( ) ,

>

0

,

证明至少存在一点 证

“

任(

a

,

) b

,

使厂( u ) ,

< O

。

因为 f ( x )具有二阶导数将 f ( x )在 f (x ) =

。

点展开成为一阶泰勒展开式 一“

f (e ) x

+

e厂( ) (。

x一

e

)

+

其中泞在 (1 ) 。

与

之间 ,

。

宁 x= a ,

`X

”

( 1)

当厂( )簇0时在 ( 1 )式中取 f (·

得 (

:

卜f

(·

卜厂( a

·

)(

一 。

卜

1其中子在

与 ,

。

之间 。

望 ,

一 < 。 ,

)2

(2 )

因为 f ( a )

=

O f ( +

)> ( 0由已知)且 a/ ( )( e

a

。 (假设 )所以由 ( 2了( )毛0 )式可得 ,

厂(右 ) 1

= ,

e f ( )

一 c

)

( 。

a

一 ,

。

)/

2

2

< O ,

,

l a这里右任 ( ,

,

。

) ,

因为 ( a (2 )

)仁 ( a ,

,

b

1 )所以右任( a

) b b ,

, a故存在一点言任 (

b

; )使厂(泞 )< 0

,

.

` )式中取当厂( )) O时在 ( 1

x二

得 (。 一:

f (

。)一

, (

。

) b =

+

, ( ) 。

,

`

(。 ,

一。

)

2澳乒 ` :

),

(3)

:其中泞在

与 0 ,

之间即 。

。

2<右< b ,

.

因为 f ( b )

( f +

)> 0 (已知 )厂(。 ) ) 0 (假设 ) .

,

。

< b

,

)式可得所以由( 3

厂(分 ) 2

=

-

f ( ) ,

e

厂( ) ( 一。 ,

c

b

一 e

) ,

( b ,

b

)2/ 2 占)仁

< O 吞) ,

,

2因为右任 (c ,

)而(e

(a

2 a所以泞任( “

,

b

2 )故存在一点芍任( a ,

,

a

,

b

2 )使/ (右 )< 0 .

,

.

。综上所述无论厂 ( )为正还是为负至少存在一点

,

任(

b

)使厂( u )

,

.

< 0

证毕

收稿日期

:

19 9 9一 0 6一 2 4

80

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