概率论与数理统计公式集锦(2011.6.7)

概率论与数理统计公式集锦

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

F(x) P(X x) P(a X b) F(b) F(a)

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布 pi P(X xi)

P(X xi,Y yj) j

pij j

p j P(Y yj)

P(X xi,Y yj)

i

pij

i

2、离散型二维随机变量条件分布

pij P(X xiY yj)

P(X xi,Y yj)P(Y y pij

,i 1,2 j)P j

pji

P(Y yjX xi) P(X xi,Y yj)P(X x pij

,j 1,2 i)Pi

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数F(x,y)

x

y

f(u,v)dudv

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：FX(x) x

f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)

f(x,v)dv

F y

Y(y)

f(u,v)dudv fY(y)

f(u,y)du

5、二维随机变量的条件分布

fy)Y

X(yx)

f(x,fx), y ff(x,y)

X(xy) f, x X(Y(y)

6、X、Y相互独立 F(x,y) FX(x)FY(y) f(x,y) fX(x)fY(y)

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型：E(X)

x

k

pk，连续型：E(X)

k 1

xf(x)dx

2、数学期望的性质

(1)E(C) C,C为常数 E[E(X)] E(X) E(CX) CE(X) (2)E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b (3)若X、Y相互独立则：E(XY) E(X)E(Y)

3、方差：D(X) E[(X E(X))2] E(X2) E2(X)

4、方差的性质

(1)D(C) 0 D[D(X)] 0 D(aX b) a2D(X) (2)D(X Y) D(X) D(Y

) 2Cov(X,Y)

(3)若X、Y相互独立则：D(X Y) D(X) D(Y)

5、协方差：Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)，X、Y相互独立时：Cov(X,Y) 0

6、相关系数：

XY

，X、Y相互独立时： 0(X,Y不相关XY

)

7、协方差和相关系数的性质

(1)Cov(X,X) D(X) Co(

vX,Y) Co(vY,X) (2)Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)

Cov(aX c,bY d) abCo(Xv,Y)

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若E(X) ,D(X) 2,对于任意 0有P{X E(X) } D(X)

2

或P{X E(X) } 1

D(X)

2

2、大数定律：若X1 Xn相互独立，E(Xi) i,D(Xi) i2且 2i C

n

n

则：

1n

X P

1

ii 1

n

E(Xi

),(n )（切比雪夫）

i 1

n

若X) ，则：

1

1 Xn相互独立同分布，且E(Xin

X

i

P （辛钦） i 1

n

3、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 2 0的独立同分布时，

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