利用孙子定理证明哥德巴赫猜想(1+1)的探讨

利用孙子定理证明哥德巴赫猜想(1+1)的探讨

陈廷槐熊启钊

摘要:本文证明哥德巴赫猜想的过程是，先以n+m为未知数写出一组同余式，再从此同余式组推出以n-m为未知数的另一组同余式。主要利用孙子定理证明存在奇素数n+m与n-m。于是n+m与n-m之和为2n，而哥德巴赫猜想得到了证明。证明方法很简单、直观。缺点、错误，必暴露无遗，便于批评、指正。关键词: 哥德巴赫猜想（1+1），同余式组，孙子定理（中国剩余定理），伯特兰 —切比晓夫定理

1 前言

1742年哥德巴赫（Christian Goldbach, 1690-1764）提出了“每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”的猜想。现在把命题“每个不小于6的偶数可表成两奇数之和，且一个奇数的素因子不超过p个，另一个的不超过q个”记为（p+q）。自上世纪二十年代以来，已有人相继给出（9+9）、（4+4）、（2+3）、（1+5）、（1+2）的证明。现在已有数人声称证明了命题（1+1）。本文将探讨利用孙子定理（即中国剩余定理）证明哥德巴赫猜想（1+1）。证明方法很简单、直观，如有缺点、错误，必暴露无遗，希望同好诸君批评、指正，让古老数学，在众人协力之下能发挥一点新作用。

2 将引用的素数性质与同余式性质

举出素数和同余式的某些性质备用。

（1）为了表述方便，除了素数2，本文判断任何大于2之非零正整数为素数的准则是：凡不能被小于它的一切素数逐一整除者，为素数。这与习用者不同，而且很原始。

（2）还要举出孙子定理（即中国剩余定理）备用：如果k 2，而p1，p2，…，p k是两两互素的k个非零正整数。令P=p1p2…pk=pjPj，j=1，2，…，k。则必存在一个满足下之同余式组

x B1(modp1)， x B2(modp2)，…，x Bk(modpk) （Bj为任何整数）的整数解

x≡B1P1P1'+B2P2P2' +…+B k P kP k' (mod P)。

上同余式中的Pj'是满足同余式P jP j'≡1(mod p j)的一个整数，j=1，2，…，k。（见任何《初等数论》教材。）

（3）现在说明依次用由小到大的素数p除素数a的情况，当素除数p小于素数a时，余数是大于零、小于p的某非零正整数。素除数p等于素数a时，刚好除尽a，余数为零。再以更大的素数p除素数a，余数是a本身。反之，根据性质（1），符合这些条件的a必为素数p。

（4）伯特兰（J. L. F. Bertrand 1822－1900）—切比晓夫（Пафнутии Львович Чебышев 1824－1894）定理说的是“对于所有大于1的整数n，存在一个素数p，符合n < p < 2n”。

[为了下文的叙述明确，对几个名词要予界定。自然数——1、2、3、…。整数——负的自然数+零+自然数。非零正整数=自然数。正整数——零+自然数。同时，下文对孙子定理所涉及的数类的覆盖领域要予以缩小。使符合本文证法的需要。]

3 哥德巴赫猜想（1+1）的转换与证明途径

哥德巴赫提出的猜想是“每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和（1+1）”。考虑任何