初一竞赛讲座06(整式的恒等变形)

数学奥赛基础知识讲义

初一数学竞赛系列讲座(6)

整式的恒等变形

一、一、知识要点

1、 1、 整式的恒等变形

把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形

2、 2、 整式的四则运算

整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、 3、 乘法公式

乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a2-b2

② (a±b)2=a2±2ab+b2

③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3

④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3

⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc

⑦ (a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3

4、 4、 整式的整除

如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、 5、 余数定理

多项式f x 除以 (x-a) 所得的余数等于f a 。

特别地f a =0时，多项式f x 能被(x-a) 整除

二、二、例题精讲

例1 在数1，2，3， ，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”

1998 1 1998 999 19992解 因1+2+3+ +1998=是一个奇数，

又在1，2，3， ，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。 很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

所以我们将1，2，3， ，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+ + (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1

故所求最小的非负数是1。

例2 计算 (2x3-x+6) (3x2+5x-2)

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