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2004年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、
填空题
（1）曲线y=lnx与直线x+y=1垂直的切线方程为 . 【答】 y=x 1. 【详解】 由y=(lnx)=
'
'
1
=1,得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求得切线方程为， x
y 0=1 (x 1),即y=x 1
x x
（2）已知f′(e)=xe，且f(1)=0，则f(x)=【答】
1
(lnx)2. 2
【详解】
令e=t，则x=lnt，于是有
x
lntlnx， 即 f′(x)=. tx
lnx1
积分得 f(x)=∫=(lnx)2+C. 利用初始条件f(1)=0， 得C=0,
x212
故所求函数为 f(x)=(lnx).
2f′(t)=
（3）设L为正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分【答】
2
2
∫
L
xdy 2ydx的值为
3π. 2
2
2
【详解】正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，可表示为
x=2cosθ,
y=2sinθ,
π
θ:0→
π
2
.
于是
∫xdy 2ydx=∫
L
20
[2cosθ 2cosθ+22sinθ 2sinθ]dθ
π
=π+
∫
20
2sin2θdθ=
3π. 2
d2ydy
x（4）欧拉方程x+4+2y=0(x>0)的通解为2
dxdx
2
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