函数在无穷区间上一致连续性的判定

函数的一致连续性

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20年第 l 01期

宿州教育学院学报

函数在无穷区问上一致连续性的判定 杜家祥 [内窖摄薹]文论述了函数在无穷区间上一致连续性的判定问题，绍了几种函教在无穷区间上不一致连续的判本介 定击。

[■词]关函数

无穷匡问一致连续

判定

函数在无穷区间上是否一致连续，常用如下的一些条件来爿定： 1若、 2若、

)区间 I有限或无限，同)上满足李普希兹条件或者导数有界 . 0 ) I上一致连续；在 (下则在 x)和 )一∞,。 )连续的周期函数，是(+。上或者， ) (∞ .∞ ) 2￣一 m J( 在一+ j…1 H l i ' …

均存在 ,

jl z) (∞ .+∞ ) If(在一 l上一致连续 3若 f( )在区间[、 u,上一致连续， ) (。,∞ ) 在一。+上一致连续，{ )∈ (∞ .+ ) c U.且 l 一 }则复合函数， ) ( )在 (∞,十。上一致连续一。以上三种爿断法对于，, . n x iI等函数在 (∞,∞ )一致连续性的爿定是失散的。 s x .￥￣ i I一+上 下面给出一些函数在 (。+∞)上是否一致连续的判别法。一。, 定理 1函数， )区间 I上一致连续的充要条件是对 V E> 0 j A> 0使对 Vd .∈ I. 扛在 . . E恒有 I x )一 f x )≤一 I一 f( ( l +∈

证充分性显然，现证必要性。

对 V E> 0由， )一致连续， d> 0当 d,∈ I. I一 d< d时， . , Ed E且 d E E I恒有 l z ) f( 一 ( )<占 } =

取. 4

等 . .∈ I不妨设<, v ,”则存在正整数 N,Ⅳ一1 一<N占把[,]使( )≤ 。一 _ v等分：一<一

<<…<d一d,: E E则每个小区间长度小于占于是；扛一Jx)≤∑ I(一Jx{ E而^一{ .”, ) ( I fx ) ( )<Ⅳ . I ≥箐(一 1d+ E (N一 1EⅣ )一 2 )。 故 I ( ),( )≤^ l一 一 l } E+。

+

推论 1设 0 )区间 I上一致连续 .在剜存在> 0 B> 0使得对 V,∈ I.有 I x ), . 工恒 f( 一/( )≤ A} l f 一

l

。—

推论 2设，工 ( )在 (∞,。 )一致连续 .一+。上则存在> 0 B> 0使得对 V∈ (。 .+∞ )恒有 I工)≤,, 一。,,(} ^l l +。

推论 3设， ) (∞ .∞ )定义，存在> 0又存在两个均由不同的敦组成的敦列{ ){”, 在一十上若 . . )使得 1” 一

】=

(一 1 2… )且 ,,

I( ) f x”一 (】 )=+∞,/ ) (∞,∞ )则 在一+上不一致连续。 定理 2设扛 )在 (∞ .∞ ) 一+上可微 .若 。 _。. _m )不一致连续。上

∞扛 )=∞ (或

一i lm —

。。

f ( )一 )则/ ) ( .“在一

用推论 1反证，令=,=“+ 1利用拉格朗日中值定理即可。 , 由定理 2即可判定一 .等函数在(∞ . o )不一致连续。 一+ o上

定理3若军∞ 由推论 2即得定理 4设函数/ ) (,

一∞或竺。 (。

∞, ) (∞,∞上一连 1卿在一十 )不致续

) (。+。)在一。. 上定义，且满足}

( ) )周期函数， 1“是且存在，,( )一 0有 ;

()军o gr一 ( l g=∞) h= (),在一∞, 2 。 ()或一—“) i m,则 ) g () ( +∞)不一连 上致续。 只要取一 .一+ f r . .一， n(儿是的周期， )≠ O . F应用推论 3即可。+ l这 ( )对 9 1

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