函数在无限区间上一致连续性的简单判定法

函数的一致连续性

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第 7卷第 3期 20 0 5年 6月

黄山学院学报 J r a a g h n Unv r i ou n l Hu n s a ie st of y

Vo . NO. 1 7. 3

J n2 0 u .0 5

函数在无限区间上一致连续性的简单判定法 查志明，叶鸣，志晖鲍 (山学院数学系，黄安徽黄山 2 5 4 ) 4 0 1

摘要：文给出了函数在无限区间上是否一致连续的几种判定方法。本 关键词：续；致连续；数连一导

中图分类号：14文献标识码：文章编号：6 2 47 20 )3 0 1一 1 07 A 17— 4 X(0 5 0— 0 4 O 函数的一致连续性是函数的最重要的分析性质之一，但按定义判断起来较难。在有限区间上有种较简单的判定方法： f (, )连续， f (, )一致连续的充要条件是 fa 在 ab上则在 ab上 (+

lx一 x l∈(一 ) 詈：=o f” f= ) l ( ) ( ) ( x x> l,￡ 因此 f[,。)在 a+。上非一致连续。

0、(一 )存在有限。例如 y x i在 (, )一致连续， )fb 0均=s n 0 1上 v 与 y l X在 (, )==R 0 1上非一致连续。但函数在无限区间上 。

例 5幂函数 y x, p时在[,。 )= p在>l a+。上非一致连绣 (> )因 l ( i x-+; a0。 i x ) m p p= m=l’

例 6指数函数 y a在 R上非一致连续；= 例 7有理函数 R ) = q~

X

没有此性质且情况也复杂的多。本文给出了函数在无限区间 上是否一致连续的几种简洁的判定方法。

X

po X

. D十

i X

。…十p十

,

其中

定理 lf[,]:在 a+上可导， f()≤l1且 fx f (为正实数 ) , x∈[,。)则 f[,。) a+。,在 a+。上一致连续。 证： Vx, a+。,对 X∈[,。 )由拉格朗日中值定理得

nm为非负整数，, 1, 3均为常数， a,o。, a…a,。…1 o 3 且 o p≠0#O当n≤m+ l时， x在[,。 ) R( ) a+。上一致连续， n m+当> l时， () Rx 在『,。) a+。上非一致连续。其中 a ma{: ( )

0}> xXqx=。

lx)f l ()x x)≤l txl其巾∈ f”一( )=∈(” l t, ( x一 l— X介于 x,” x之间。

注：在[,。) f a+。上可导， ()在[, ) x l a+上无界， 且 l ()≠+。则不能断定 f[,。) i a r X l。,在 a+。的一致连续 性。如 fx= ()堕在[,。)一致连续 ( 1+。上由定理 3之推论立

故对 V>, 8旱， Vx,∈[,。)只要 I_<,￡0 j=对” a+。, x X xl8 n就有 lx)fx)≤l txl￡故 f a+上一致连续。 f一( l lt<,在[, ( X _ ) 推论：在『,。)可导， l ( ) b则 f[,∞) f a+。上且 i a r X=,在 a+ 上一致连续。

得)fx=i 1+。上非一致连续，, )s x在[,。) ( n但 ()在[,。) X l 1+。 上无界， l X l。。且 i l ()≠+。 mf 定理 3:在[,。)连续， f a+。上如果 f在斜渐近线 y c+ 存=x b (中 C b为实数 )则 f[,。)其，,在 a+。上一致连续。 证：由文…:, fg在[,。 )连续， l fx一 ( ) _, a+。上且 i f( ) g x] 0 a r则 f f,。)在 a+。一致连续的充要条件是 g在[,。 ) a+。上一致连续。 yc+而= x b在[,。) a+。上一致连续， f[,。)一致连故在 a+。上 续

例 l三角函数 y sn,= ox在 R上一致连续。:= ix y c s

因 ls x)=CSl,( S)l; (l ll X≤ll OX≤l n O C 例 2幂函数 y x, p:￣在≤l时在[,∞) -p a+上一致连续 (> ) aO; 例 3对数函数 y lg:=o￣ f,。)一致连续。 x在 c+。上 因 l (o )=l— i 1 i m m一 O:;

例 4 _正切函数 y a t x R上一致连续。:反=r a在 cn

推论：存[,∞)连续， l ( ) b则 f[,。 ) f a+上且 i x=, mf在 a+。 致连续

因 l aca x l _ F=反余切函数 y acox在 R i rtn ) i 1 m(=r a 0,= rc t 上也一致连续。

参考文献：

定理 2设 f[,。)在 a+。町导， l (

):∞, f且 i a r x f+则存 a+上非一致连续。,∞)

[]礼文.学分析中的典型问题与方法[ .京： 1裴数 M]北高 等教育出版社 .9 3 19

证：￡:, V>, l ( )=。得， (c a, 取 ol对 8 (由 i J a r X l+。 -> )当 (

[]秀颖等编.学题解辞典 (等微积分) M]上海： 2唐数初[ . 上海辞书出版社 .9 2 19

xc有 (l,x :,lx 8 ≥时 x>取， c有x孚， ).=‘ I<而 c+”= 2 一 收稿日期：0 4 2 7 2 0一l一l基金项目：安徽省教学研宄项目( X 0 3 5 “ M2 0 2 9)作者简介：志明 (9 6,查 1 6一)安微浸县人，山学院讲师，宄方向为函数论方向黄研 l 4

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