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2013年北约自主招生数学试题与答案
1．
和1
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
(1 x) 2解析：显然，多项式f(x) (x 2) 和
1于是
23
15.
若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x) ax bx cx dx e，
和1，其中a,b,c,d,e不全为0，则：
432
g
4a 2c e 0 (4a 2c e) (2b d 0 2b d 0
g1 (7a b c d e) (2a 3b 2c d(6a 3b c0 7a b c d e 0 2a 3b 2c d 0
(1) 4a 2c e 0 2b d 0(2) 即方程组： 7a b c d e 0(3)，有非0有理数解.
2a 3b 2c d 0(4) (5) 6a 3b c 0
由（1）+（3）得：11a b c d 0 （6）
由（6）+（2）得：11a 3b c 0 （7）
由（6）+（4）得：13a 4b 3c 0 （8）
由（7） （5）得：a 0，代入（7）、（8）得：b c 0，代入（1）、（2）知：d e 0.于是知
与abcde,,,,a b c d e 0，
1
15.
2． 在6 6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？
A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400
解析：先从6行中选取3行停放红色车，有C6种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3C6 6 5 4 6 14400种停放汽车的方法. 3不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)，
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